 | 2006/09/03(Sun) 00:52:23 編集(投稿者)
二項定理における重要公式
(1+x)^n=Σ[k=0,n]nCk*x^kにおいて
上の式をn=2m,x=2とおけば
(1+2)^(2m)=Σ[k=0,2m](2m)C(k)*2^k‥(i)
上の式をn=2m,x=-2とおけば
(1-2)^(2m)=Σ[k=0,2m](2m)C(k)*(-2)^k‥(ii)
(i)+(ii)とすれば、kが奇数の項は打ち消しあい、偶数の項はそれぞれ2倍になるので
kの偶数項を新たに、2kとおけば
(i)+(ii)
⇔2*Σ[k=0,m](2m)C(2k)*2^(2k)
=2*Σ[k=0,m](2m)C(2k)*4^k
=2*Σ[k=0,m](2m)C(2k)*4^(m-k)=3^(2m)+(-1)^(2m)=9^m+1
よって、Σ[k=0,m](2m)C(2k)*4^(m-k)=(9^m+1)/2
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