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■16984 / inTopicNo.1) 　恒等式
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□投稿者/ ブラックデビル早乙女 一般人(1回)-(2006/09/01(Fri) 16:47:53)
    多項式f(x)について、恒等式f(x^2)=x^(3)f(x+1)-2x^(4)+2x^(2)が成り立つとする。
    (1)f(0),f(1),f(2)の値を求めよ
    (2)f(x)の次数を求めよ
    (3)f(x)を決定せよ

    こういう難しい恒等式の問題は苦手なので
    式だけでなく注釈つきで教えてもらいたいです。
    おねがいします。
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■16985 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 恒等式
□投稿者/ miyup 大御所(694回)-(2006/09/01(Fri) 17:23:30)
    ■No16984に返信(ブラックデビル早乙女さんの記事)
    > 多項式f(x)について、恒等式f(x^2)=x^(3)f(x+1)-2x^(4)+2x^(2)が成り立つとする。
    > (1)f(0),f(1),f(2)の値を求めよ
    x=0 代入して f(0)=0
    x=-1 代入して f(1)=0
    x=1 代入して f(1)=f(2)=0

    > (2)f(x)の次数を求めよ
    f(x)の最高次数をｎとおくと、f(x^2)は２ｎ次、x^3 f(x+1)は３＋ｎ次。
    両辺の次数を比較して、2n=3+n のとき n=3 OK.　2n=4 のとき n=2 ×(x^3 f(x+1)が５次になるため)
    以上より、f(x)の次数は３次。

    > (3)f(x)を決定せよ
    (1)(2)より、f(x)=ax(x+1)(x-1) とおける。これを恒等式に代入して係数比較し
    f(x)を決定する。

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■17012 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 恒等式
□投稿者/ ブラックデビル早乙女 一般人(3回)-(2006/09/02(Sat) 12:37:23)
    ありがとうございました。
    質問があります。

    > (2)f(x)の次数を求めよ
    f(x)の最高次数をｎとおくと、f(x^2)は２ｎ次、x^3 f(x+1)は３＋ｎ次。

    これはx^(?)の？のところにｎをかけるのでしょうか？
    そう考えればf(x^2)は２ｎ次は理解できるんですが
    x^3 f(x+1)は３＋ｎ次が理解できません。
    ここはどういう過程で3+n次になったのでしょうか？
    詳しく教えてもらいたいです。
    こういう問題の場合、次数を求めよと出れば、最高次数をnとする、と
    書いてから解いていけばいいんでしょうか？
    こういう問題は初めてで戸惑っています。

    おねがいします。
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■17014 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 恒等式
□投稿者/ miyup 大御所(699回)-(2006/09/02(Sat) 13:27:37)
    ■No17012に返信(ブラックデビル早乙女さんの記事)
    > ありがとうございました。
    > 質問があります。
    >
    >>(2)f(x)の次数を求めよ
    > f(x)の最高次数をｎとおくと、f(x^2)は２ｎ次、x^3 f(x+1)は３＋ｎ次。
    >
    > これはx^(?)の？のところにｎをかけるのでしょうか？
    > そう考えればf(x^2)は２ｎ次は理解できるんですが
    > x^3 f(x+1)は３＋ｎ次が理解できません。
    > ここはどういう過程で3+n次になったのでしょうか？

    x^3は３次、f(x+1)は結局f(x)と同じｎ次。それらの積なので、３＋ｎ次です。

    > こういう問題の場合、次数を求めよと出れば、最高次数をnとする、と
    > 書いてから解いていけばいいんでしょうか？

    そうです。最高次だけを追っていけばいいです。
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■17028 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 恒等式
□投稿者/ ブラックデビル早乙女 一般人(4回)-(2006/09/02(Sat) 18:35:59)
    ありがとうございました。
    すみません。。まだわからないのですが。

    ＞f(x^2)=x^(3)f(x+1)-2x^(4)+2x^(2)

    左辺はx^2が最高次であるのはすぐにわかります。
    それにnをかけて、2n次となっているんだと思っています。
    左辺はx^(3)f(x+1)が3+n次になるのがやはりよくわかりません。
    x^(3)があるから、3n次じゃないんでしょうか？
    どうしてここは3次として、nを付け加えないのでしょうか？
    それとf(x+1)をどうかいしゃくすればいいのか、よくわかりません。
    それに、まず最高次を考えるなら、左辺で一番次数が高いのは
    -2x^(4)ではないでしょうか？　4次ではまちがいなんでしょうか？

    質問は以上です。
    よろしくおねがいします。
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■17031 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 恒等式
□投稿者/ miyup 大御所(702回)-(2006/09/02(Sat) 18:57:46)
    ■No17028に返信(ブラックデビル早乙女さんの記事)
    > ＞f(x^2)=x^(3)f(x+1)-2x^(4)+2x^(2)
    >
    > 左辺はx^2が最高次であるのはすぐにわかります。
    > それにnをかけて、2n次となっているんだと思っています。
    > 左辺はx^(3)f(x+1)が3+n次になるのがやはりよくわかりません。
    > x^(3)があるから、3n次じゃないんでしょうか？
    > どうしてここは3次として、nを付け加えないのでしょうか？
    > それとf(x+1)をどうかいしゃくすればいいのか、よくわかりません。

    f(x) がｎ次のとき、f(　)=(　)^n + … の形になります。よって

    f(x^2) = (x^2)^n + … = x^(2n) + … で、２ｎ次
    f(x+1) = (x+1)^n + … = x^n + … で、ｎ次
    → x^(3)f(x+1) = x^3 (x^n + … ) = x^(3+n) + … で、３＋ｎ次。

    > それに、まず最高次を考えるなら、左辺で一番次数が高いのは
    > -2x^(4)ではないでしょうか？　4次ではまちがいなんでしょうか？

    No16985 で場合分けしましたが、左辺は ２ｎ次、右辺は ３＋ｎ次 または ４次 の大きい方です。

    i) ２ｎ＝３＋ｎ　のとき、ｎ＝３　で、左辺（６次）、右辺（６次＋４次＋２次＝６次）で一致します。
    ii) ２ｎ＝４　のとき、ｎ＝２　で、左辺（４次）、右辺（５次＋４次＋２次＝５次）となって一致しません。

    よって、ｎ＝３　です。
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■17128 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 恒等式
□投稿者/ ブラックデビル早乙女 一般人(6回)-(2006/09/05(Tue) 11:37:24)
    ありがとうございました。
    大体理解できました

    しつもんがあるのですが
    教科書の解説で(2)に対して
    「f(x)の次数をnとする。(1)よりf(x)は異なる3個のxの値に対して
    0となるが、恒等的に0ではない」とかいてあります。
    これはどういう意味なんでしょうか？
    いくら考えても、よく分かりません。

    それと(3)なんですが
    　> (3)f(x)を決定せよ
    　(1)(2)より、f(x)=ax(x+1)(x-1) とおける。これを恒等式に代入して係数比較し
    　f(x)を決定する。
    f(x)=ax(x+1)(x-1) とおける、というのは、公式か何かなんでしょうか？
    初めて聞きました。(3)が難しくて理解できないんですが、
    やさしく注釈多めで教えてもらえないでしょうか？
    おねがいします。
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■17130 / inTopicNo.8) 　Re[1]: 恒等式
□投稿者/ だるまにおん 大御所(1561回)-(2006/09/05(Tue) 11:51:03)
    >>miyupさん
    f(x)=ax(x-1)(x-2)では？
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■17133 / inTopicNo.9) 　Re[2]: 恒等式
□投稿者/ miyup 大御所(723回)-(2006/09/05(Tue) 13:04:37)
    ■No17130に返信(だるまにおんさんの記事)
    > >>miyupさん
    > f(x)=ax(x-1)(x-2)では？

    ！　…そうですね。失礼しました。

    ブラックデビル早乙女さん、すみませんが訂正をお願いします。

    誤 f(x)=ax(x+1)(x-1) → 正 f(x)=ax(x-1)(x-2)
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■17139 / inTopicNo.10) 　Re[3]: 恒等式
□投稿者/ miyup 大御所(726回)-(2006/09/05(Tue) 21:23:27)
    (1)で f(0)=0, f(1)=0, f(2)=0 となりました。これは、f(x) の因数に x, x-1, x-2 が存在するという事を表します（因数定理）。

    (2)から f(x)の次数が３次になりましたので、f(x)=ax(x-1)(x-2) とおくことができます。

    > 教科書の解説で(2)に対して
    > 「f(x)の次数をnとする。(1)よりf(x)は異なる3個のxの値に対して
    > 0となるが、恒等的に0ではない」とかいてあります。
    > これはどういう意味なんでしょうか？

    「x=0, 1, 2 では f(x)は 0 になるが、すべての x で f(x) が 0 になるかどうかはわからない」 ということです。
    いくつかの例だけで成り立っていても、それで全てを証明したことにはなりませんよということです。
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