 | miyup さんではありませんが。
※ お礼はそのもととなるスレッドに書き込むべきだと思います。
①
b[n] が等比数列であるということは，b[n+1]/b[n] が n によらない定数になるということです。
まず，与えられた漸化式を変形して，a[n+1]=2/(a[n]-1) とすっきりした形にしておくと考えやすいと思います。
そうすると b[n+1] に出てくる a[n+1] を 2/(a[n]-1) で置き換えて分子分母を通分したりして整理すると，b[n+1]=(-1/2)b[n] であることが示せます。
b[1]=2 より，b[n]=2*(-1/2)^(n-1) となります。
②
初項 a，公比 r の等比数列の和の公式は a+ar+...+ar^(n-1)=a(1-r^n)/(1-r) です。b[n] は初項 2，公比 -1/2 ですから，S はすぐに求まります。
③
b[n]={a[n]+1}/{a[n]-2} を a[n] について解いて a[n] を b[n] で表し，それに b[n]=2*(-1/2)^(n-1) を代入すればおしまいです。
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