 | ■No16928に返信(藻リンキーさんの記事)
> 行列A=[(5,2),(-4,-1)},E={(1,0),(0,1)}について、ｎを実数とするとき
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> （１）任意のｎに対して、等式A＾(n+1)-A^n=3^n(A-E)が成り立つことを示せ
> （２）A^nの成分をｎを用いて表せ
> （３）E+A+A^2＋・・・・・+A^nの成分をｎを用いて表せ
> やりかたがつかめません。
nは自然数として扱います。
(1)は、帰納法でやるといいと思います。
n=kで仮定して、その両辺にAを掛けて、A^2=4A-3Eを代入
(2)
(1)よりA^n(A-E)=3^n(A-E)
(A-E)^(-1)を右乗して、A^n=3^nE
(3)E+A+A^2+‥‥+A^n
(1,1)成分=(2,2)成分=1+3+3^2+‥‥+3^n
(1,2)成分=(2,1)成分=0
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