 | > a＞１とし、ｂ＞０、ｂ≠１とする。すべての正の実数ｘに対して
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> ｛(log[a](x/b)}{log[b](x/a)}<2
>
> が成り立つようなｂの値の範囲をaを用いて表せ
底を全てaにするとlog[b](x/a)=(log[a]x-1)/log[a]b
以下底[a]を省略
与式⇔1/logb*(logx-logb)(logx-1)<2
(i)logb>0,つまりb>1のとき
⇔(logx-logb)(logx-1)<2logb
左辺はlogxの二次関数であるので、十分大きいxに対して不適
(ii)logb<0,つまり0<b<1のとき
⇔(logx-logb)(logx-1)>2logb
左辺をlogxの二次関数とみれば
左辺はlogx=(logb+1)/2のとき、(つまりx=√(ab)のとき)
左辺は最小値-(1-logb)^2/4をとるので
-(1-logb)^2/4>2logbとなればよい
logb=t(t<0)とおけば、
⇔t^2+6t+1<0
∴-3-2√2<t<-3+2√2
⇔-3-2√2<log[a]b<-3+2√2
⇔log[a]a^(-3-2√2)<log[a]b<log[a]a(-3+2√2)
∴a^(-3-2√2)<b<a^(-3+2√2)
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