数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 連続してすいません。でもこちらもわからないのでよろしくお願いします。 / Page: 0]

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■16897 / inTopicNo.1)

　連続してすいません。でもこちらもわからないのでよろしくお願いします。

□投稿者/ るな付き人(53回)-(2006/08/30(Wed) 21:49:46)

下の問題がわからないので、どなたか教えていただけないでしょうか?

１辺の長さが１の正四面体ＯＡＢＣがある。辺ＯＣの中点をＭとする。ＢＭ＝√３/２、三角形ＡＢＭの面積は√２/４である。頂点Ｏから底面ＡＢＣに垂線ＯＨを引き、平面ＡＢＭと
ＯＨとの交点をＰとすると、ＯＨ＝√６/３である。
ＯＰ/ＰＨを求めよ。
という問題です。
　
方針を立てることが出来ませんでした。
よろしくお願いいたします。

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■16901 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 連続してすいません。でもこちらもわからないのでよろしくお願いします。

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□投稿者/ miyup 大御所(685回)-(2006/08/30(Wed) 22:16:16)

■No16897に返信(るなさんの記事)
> 下の問題がわからないので、どなたか教えていただけないでしょうか?
>
> １辺の長さが１の正四面体ＯＡＢＣがある。辺ＯＣの中点をＭとする。ＢＭ＝√３/２、三角形ＡＢＭの面積は√２/４である。頂点Ｏから底面ＡＢＣに垂線ＯＨを引き、平面ＡＢＭと
> ＯＨとの交点をＰとすると、ＯＨ＝√６/３である。
> ＯＰ/ＰＨを求めよ。
> という問題です。

ベクトルを使って良ければ

点Ｈは△ＡＢＣの重心より、 $2$\vec{OH}=\frac13(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$

$2$\vec{OP}=k\vec{OH}$ とおくと

$2$\vec{OP}=\frac{k}{3}\vec{OA}+\frac{k}{3}\vec{OB}+\frac{k}{3}\vec{OC}$

　 $2$=\frac{k}{3}\vec{OA}+\frac{k}{3}\vec{OB}+\frac{2k}{3}\cdot\frac12\vec{OC}$

　 $2$=\frac{k}{3}\vec{OA}+\frac{k}{3}\vec{OB}+\frac{2k}{3}\cdot\vec{OM}$

点Pは平面ＡＢM上より、 $2$\frac{k}{3}+\frac{k}{3}+\frac{2k}{3}=1$

よって、 $2$k=\frac34$ で、 $2$\vec{OP}=\frac34\vec{OH}$

以上より、OP:PH=3:1　∴ＯＰ/ＰＨ=３

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■16902 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 連続してすいません。でもこちらもわからないのでよろしくお願いします。

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□投稿者/ miyup 大御所(686回)-(2006/08/30(Wed) 22:26:30)

■No16897に返信(るなさんの記事)
> 下の問題がわからないので、どなたか教えていただけないでしょうか?
>
> １辺の長さが１の正四面体ＯＡＢＣがある。辺ＯＣの中点をＭとする。ＢＭ＝√３/２、三角形ＡＢＭの面積は√２/４である。頂点Ｏから底面ＡＢＣに垂線ＯＨを引き、平面ＡＢＭと
> ＯＨとの交点をＰとすると、ＯＨ＝√６/３である。
> ＯＰ/ＰＨを求めよ。
> という問題です。

直線ＭＰとＡＢとの交点をＮとおく。
点Ｈは△ＡＢＣの重心より、CH : HN = 2 : 1。

チェバの定理より、 $2$\frac{OP}{PH}\cdot\frac{HN}{NC}\cdot\frac{CM}{MO}=1$

$2$\frac{OP}{PH}\cdot\frac13\cdot\frac11=1$ 　よって、OP/PH = 3。

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■16994 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 連続してすいません。でもこちらもわからないのでよろしくお願いします。

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□投稿者/ るな付き人(56回)-(2006/09/01(Fri) 21:47:33)

ありがとうございました☆
解決できました!!!

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