 | ■No16872に返信(きよさんの記事)
> a＞０、a≠１とする。ある実数ｘに対して
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> a＾（−ｘ）＋a＾ｘ−２a＜０
>
> が成り立つようなaの値の範囲を求めよ
>
> やり方がわからず、困ってます。
t=a^x とおいて t に関する 2 次不等式を導く，というのが一つの方法ですが，
次のように解くこともできます。
{a^(x/2)+a^(-x/2)}^2=a^x+2+a^(-x) ですから，
a^x+a^(-x)-2a={a^(x/2)+a^(-x/2)}^2-2-2a.
また，相加平均≧相乗平均という不等式を用いると，a^(x/2)+a^(-x/2)≧2 です。
したがって，{a^(x/2)+a^(-x/2)}^2-2-2a≧2^2-2-2a=2-2a.
よって，a^x+a^(-x)-2a＜0 となる実数 x が存在するためには，2-2a＜0 であることが必要十分になります。
以上より，求める範囲は a>1 となります。なお，これはちゃんと a＞0，a≠0 をみたしています。
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