数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 三角関数の最大最小 / Page: 0]

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■16837 / inTopicNo.1)

　三角関数の最大最小

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□投稿者/ rin 一般人(7回)-(2006/08/30(Wed) 01:03:39)

関数ｆ（ｘ）＝－cos2x+2asinx+a(aは実数）の最大値、最小値を求めよ。

たびたびお願いします。

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■16841 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数の最大最小

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□投稿者/ KINO 一般人(33回)-(2006/08/30(Wed) 01:26:12)

2006/08/30(Wed) 10:16:32 編集(投稿者)

青海さんの書き込みを見て，問題を取り違えていたことに気付きましたので訂正します。

このような問題では，t=cosx または t=sinx とおくのが定石です。
sinx という正弦関数の1次の項がありますから，t=sinx とおきます。
このとき，-1≦t≦1 という範囲になります。
また，cos 2x=1-2sin^2 x=1-2t^2 より，f(x) は g(t)=2t^2+2at+a-1 という t の2次関数になります。
というわけで，-1≦t≦1 における2次関数 g(t) の最大値と最小値を求めるという問題になりました。
一応この後の方針も述べておくと，
最大値は g(-1) か g(1) のどちらかです。
最小値は，y=g(t) のグラフの軸が -1≦t≦1 という区間とどのような位置関係にあるかによって変わってきます。
最大値も最小値も a の値によって場合分けをして調べる必要があります。

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■16843 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 三角関数の最大最小

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□投稿者/ 青海一般人(44回)-(2006/08/30(Wed) 03:13:10)

■No16837に返信(rinさんの記事)
> 関数ｆ（ｘ）＝－cos2x+2asinx+a(aは実数）の最大値、最小値を求めよ。
> たびたびお願いします。

$2$f(x) = -\cos (2x) + 2a \sin (x) + a$
$2$f(x) = 2\sin ^2(x) + 2a \sin (x) + a - 1$

$2$f'(x) = 4\sin (x)\cos (x) + 2a \cos (x) = 2\cos (x)\left(2\sin (x) + a\right)$

極値は、 $2$\cos (x) = 0$ ⇒ x = $2$\frac{\pi}{2}$ , $2$\frac{3 \pi}{2}$ 　又は、

$2$\sin (x) = -\frac{a}{2}$ 　（-1 ≦ sin(x) ≦ 1 より、-2 ≦ a ≦ 2 の時、極値を持つ）

○a < -2
$2$x = \frac{\pi}{2}$ の時最小値 $2$f(\frac{\pi}{2}) = 3a + 1$
$2$x = \frac{3\pi}{2}$ の時最大値 $2$f(\frac{3\pi}{2}) = -a + 1$

○a > 2
$2$x = \frac{\pi}{2}$ の時最大値 $2$f(\frac{\pi}{2}) = 3a + 1$
$2$x = \frac{3\pi}{2}$ の時最小値 $2$f(\frac{3\pi}{2}) = -a + 1$

○-2 ≦ a ≦ 2
$2$\sin (x) = -\frac{a}{2}$ の時
$2$f(x) = -\frac{a}{2} + a - 1$ より、

$2$3a + 1$ 　…　①
$2$-a + 1$ 　…　②
$2$-\frac{a}{2} + a - 1$ 　…　③
が、最大値、最小値の候補

①、②、③の大小関係を調べると、

$2$3a + 1 = -a + 1$ ⇒ $2$a = 0$ より、

a ≦ 0 の時、3a + 1 ≦ -a + 1
a ≧ 0 の時、3a + 1 ≧ -a + 1

$2$-\frac{a}{2} + a - 1 = 3a + 1$ ⇒ $2$-(a + 2)^2 = 0$
$2$-\frac{a}{2} + a - 1 = -a + 1$ ⇒ $2$-(a - 2)^2 = 0$ より、

$2$-\frac{a}{2} + a - 1$ ≦ $2$3a + 1$
$2$-\frac{a}{2} + a - 1$ ≦ $2$-a + 1$

$2$-\frac{a}{2} + a - 1$ は、他の二つより常に小さいので、

$2$\sin (x) = -\frac{a}{2}$ の時最小値 $2$f(\arcsin (-\frac{a}{2})) = -\frac{a}{2} + a - 1$

最大値は、
a ≦ 0
$2$x = \frac{3\pi}{2}$ の時、 $2$f(\frac{3\pi}{2}) = -a + 1$

a > 0
$2$x = \frac{\pi}{2}$ の時、 $2$f(\frac{\pi}{2}) = 3a + 1$

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