 | 図を描いて考えましょう。
内接円は正六角形の各辺の中点と接します。したがって点Qは内接円の周上にあります。よって k=1 があることがすぐにわかります。
そして線分AQと内接円の周との交点はQ以外にもうひとつあることも図からわかります。その点を R とおくと，AR と AQ の向きは同じなので，もうひとつの k の値は正の数であるはずですね。
ベクトルのままだとやりにくそうなので，座標を設定して考えてみることにしましょう。
例えば OA を x 軸として考えます。つまり，O が原点で，A が (1,0) という点に対応すると考えます。OQ は OA に垂直なので，こちらを y 軸にとります。
まずは内接円の半径を求めましょう。三角形OBC は一辺の長さが 1 の正三角形で，OQ は BC の垂直二等分線で，内接円の半径でもありますから，角 OBQ=60度であることから OQ=√3 /2 であることがわかります。
よって内接円の方程式は x^2+y^2=3/4 となります。
Q の座標は OQ=√3 /2 で，Q は y 軸上にありますから，(0,√3 /2) です。
直線 AQ は A(1,0) と Q(0,√3 /2) を通りますから，この直線を表す方程式は y=-√3 x/2 +√3 /2 となります。
この直線と円 x^2+y^2=3/4 との交点を求めます。それには y=-√3 x/2 +√3 /2 を円の方程式に代入して x の 2 次方程式を導き，それを解けば x=6/7 となり，これを直線の方程式に代入すれば y 座標も √3/14 と求まります。(x=0 という解も出てきますが，これは Q の x 座標に相当します。）
あとは，
ベクトル AQ=(-1,√3 /2)，ベクトル AR=(-1/7,√3/14)=AQ/7
より，もうひとつの k の値が求まります。
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