数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 指数、対数の大小関係 / Page: 0]

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■16649 / inTopicNo.1)

　指数、対数の大小関係

□投稿者/ 彩巴一般人(1回)-(2006/08/26(Sat) 14:13:20)

穴埋めで見にくいかもしれませんが解説詳しくお願いします。

　　x,y,zは正の数で2^x=(9/2)^y=5^zを満たしているとする。
　このとき、a=2x,b=9/2y,c=5zとおき、a,b,cの大小関係を調べよう。
x=y(log2[ア]-[イ])であるからb-a=y([ウエ]/2-2log2[オ])である。したがって
aとbを比べると[カ]の方が大きい。
同様にx=zlog2[キ]であるからc-a=z([ク]-2log2[ケ])である。したがって
aとcを比べると[コ]の方が大きい。
更に、5^9<(9/2)^10である事を用いると、a,b,cの間には大小関係
[サ]<[シ]<[ス]が成り立つことが分かる。

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■16650 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 指数、対数の大小関係

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□投稿者/ KINO 一般人(16回)-(2006/08/26(Sat) 15:19:04)

2006/08/26(Sat) 15:26:58 編集(投稿者)
2006/08/26(Sat) 15:26:51 編集(投稿者)

> 　　x,y,zは正の数で2^x=(9/2)^y=5^zを満たしているとする。

b=9y/2 でしょうか？

> 　このとき、a=2x,b=(9/2)y,c=5zとおき、a,b,cの大小関係を調べよう。

$2$2^x=\left(\frac{9}{2}\right)^y$ の両辺の底を2とする対数をとると，
$2$x=y\log _2\frac{9}{2}=y(\log _2 9-\log _2 2)=y(\log _2 9 -1)$ となります。
この両辺に 2 をかけると，
$2$a=2x=2y(\log _2 9 -1)$ ですから，
$2$ b-a=\frac{9}{2}y-2y(\log _2 9 -1)=y(\frac{9}{2}-2\log _2 9 + 2) =y(\frac{13}{2}-2\log _2 9)$
となります。 $2$y>0$ であり，また $2$2^{13}=8192>6561=9^4$ より， $2$13>4\log _2 9$ です。したがって $2$b-a>0$ です。これから a と b の大小関係がわかります。

同様に $2$2^x=5^z$ という式の両辺の底を2とする対数をとることにより，
$2$x=z\log _2 5$ が得られます。よって，
$2$ c-a=5z-2x=5z-2z\log _2 5=z(5-2\log _2 5)$
です。 $2$2^5=32>25=5^2$ より，
$2$5-2\log _2 5=\log _2 2^5 -\log _2 5^2=\log _2\frac{32}{25}>0$ がわかります。
$2$z>0$ より， $2$c-a>0$ がわかります。

また， $2$\left(\frac{9}{2}\right)^y=5^z$ の両辺の底を5とする対数をとると，
$2$z=y\log _5\frac{9}{2}$ となります。したがって，
$2$ c-b=5z-\frac{9}{2}y=\frac{y}{2}(10\log _5\frac{9}{2}-9)$
となりますが， $2$5^9<\left(\frac{9}{2}\right)^{10}$ より， $2$c-b>0$ がわかります。

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■16652 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 指数、対数の大小関係

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□投稿者/ 彩巴一般人(2回)-(2006/08/26(Sat) 16:11:30)

ありがとうございます！！
こっちも教えてもらえますか？？
　２点Ａ(2,0)B(-2,0)を直径の両端とする円周の上半分の弧上に２点Ｐ，Ｑをとる。原点をＯとし、∠ＡＯＰ=2θ、∠ＡＯＰ+∠ＱＯＢ=π/2とする。
ただし、0<θ<π/4とする。
（１）四角形ＡＰＱＢの面積は[ア]sin2θ+[イ]cos2θ+[ウ]である。
（２）ＡＰ=[エ]sinθ、ＢＰ=[オ]cosθであるから、三角形ＡＢＰの面積は
　　　[カ]sin2θである。
　　　更に、三角形ＡＢＰの面積が四角形ＡＰＱＢの面積の半分になるとき、
　　　sin2θ=[キ]/[ク]である。

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■16653 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 指数、対数の大小関係

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□投稿者/ KINO 一般人(18回)-(2006/08/26(Sat) 16:55:51)

まずは「指数・対数の大小関係」の問題がこちらの解釈であっているかどうかについてご返答下さい。こちらの問いかけに答えず，一方的に「問題を解いて下さい！」ではまずいと思います。

また，別の問題に関する質問は新しいスレッドにて投稿すべきです。そうすれば他の回答者の方々の目にとまりやすくなりますから。

今後も利用する場合は以上の点について気をつけた方がいいと思います。

こういう問題はとにかく図を描いてみる必要があります。

(1) 四角形 APQB=△APO+△PQO+△OQB と分解し，各三角形の面積をθを用いて表せばよいです。その際，AO=PO=QO=BO=2 であることと，角POA=2θ，角QOB=π/2-θ，そして角POQ=π-(角AOP+角QOB)=π/2 であること，そして一般に sin(π/2-x)=cos x という関係があることを利用しましょう。

(2) 角 AOP の二等分線と辺 AP の交点を R とおくと，角 ARO は直角になります。このことから辺AR の長さを sinθ を用いて表すことができます。また，AR=RP なので，AP=2AR という関係から AP の長さも求まります。
BP については，角BOP の二等分線と辺 BP の交点を S とおき，角 OSB が直角になることから，辺 BQ を sin(π/2-θ)=cosθ で表すことができ，BP=BQ+QP=2BQ という関係を利用すれば求まります。
最後に AB が円の直径であることから，角APQ=π/2 であることに注意すれば三角形 APB の面積を表す式が得られます。

△APB の面積が四角形 APQB の面積の半分である，という条件は，
3sin2θ=cos2θ+1
という等式になるはずです。
(3sin2θ-1)^2=(cos 2θ)^2=1-(sin2θ)^2
と変形し，x=sin2θ とおくと x の 2 次方程式が得られます。それを解けば sin2θ が得られますが，θの範囲から 0<sin2θ<1 であることに注意しましょう。

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■16655 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 指数、対数の大小関係

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□投稿者/ 彩巴一般人(3回)-(2006/08/26(Sat) 19:05:56)

分かりました！どうもすいませんッ(P□`q゜)今度から気を付けます！

答えはどっちもあってました☆★ありがとうございます♪

解決済み!

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