数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ベクトル / Page: 0]

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■16636 / inTopicNo.1)

　ベクトル

□投稿者/ 優り一般人(5回)-(2006/08/25(Fri) 22:53:47)

V(OA)=(3,-4),V(OB)=(-8,6)とするとき、∠AOBの二等分線と平行な単位ベクトルを求めよ。

という問題の答えが、(-√2/2,-√2/2),(√2/2,√2/2)なんですが、どうしてこうなるんでしょうか？教えてください。お願いします。

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■16641 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトル

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□投稿者/ miyup 大御所(649回)-(2006/08/25(Fri) 23:16:00)

■No16636に返信(優りさんの記事)
> V(OA)=(3,-4),V(OB)=(-8,6)とするとき、∠AOBの二等分線と平行な単位ベクトルを求めよ。
>
> という問題の答えが、(-√2/2,-√2/2),(√2/2,√2/2)なんですが、どうしてこうなるんでしょうか？教えてください。お願いします。

OA=5, OB=10 より、直線OA上に、 $2$\vec{OA'}=2\vec{OA}$ となる点A' をとる。

このとき、 $2$2\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OA'}+\vec{OB}=\vec{OP}$ となる点Pをとると、四角形OA'PBはひし形で、OPは∠AOBの二等分線になる。

$2$\vec{OP}=2(3,-4)+(-8,6)=(-2,-2)$ で、OP=2√2 より

∠AOBの二等分線と平行な単位ベクトルは、 $2$\pm\frac{\vec{OP}}{2\sqrt{2}}$

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■16654 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ベクトル

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□投稿者/ 数樂一般人(5回)-(2006/08/26(Sat) 18:14:42)

解決済みですが，加法定理を使って解いてみました。

↑OA，↑OBとx軸の正の向きとのなす角をそれぞれα，βとすると
|↑OA|=5，|↑OB|=10　ですから
cosα=3/5，sinα=-4/5，cosβ=-8/10=-4/5，sinβ=6/10=3/5
αは第４象限の角ですから　-90°＜α＜0°･･････①　としてよい。
βは第２象限の角ですから　90°＜β＜180°･･････②　としてよい。
このとき∠AOBの二等分線とx軸の正の向きとのなす角は　(α+β)/2　

①②より　0°＜α+β＜180°で
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(-4/5)(-4/5)+(3/5)(3/5)=16/25+9/25=1
よってα+β=90°
よって（α+β)/2=45°

従って角の二等分線に平行な単位ベクトルは±(cos45°，sin45°）=±(√(2)/2，√(2)/2)

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