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■16619 / inTopicNo.1)

　内積です

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□投稿者/ やまとも一般人(3回)-(2006/08/25(Fri) 20:52:08)

△ABCにおいて↑AB･↑BC=↑BC･↑CA=↑CA･↑ABが成り立つとき、△ABCはどんな三角形か。

感覚的には正三角形になると思うんですけど、いかがでしょうか？

(携帯)

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■16623 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 内積です

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1557回)-(2006/08/25(Fri) 21:38:00)

△ABC の重心を G とし、↑GA =↑a , ↑GB =↑b , ↑C =↑c とすると ↑a + ↑b +↑c = 0
また、↑AB ･↑BC =↑BC ･↑CA ⇒ (↑b -↑a)・(↑c -↑b) = (↑c -↑b)・(↑a -↑c)
⇒ (↑c -↑b)・(2↑a -↑b -↑c) = 0 ⇒ (↑c -↑b)・↑a = 0　∴ AG⊥BC
同様に↑BC ･↑CA = ↑CA ･↑AB より BG⊥CA なので G は垂心。
重心と垂心が一致するので △ABC は正三角形。

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■16624 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 内積です

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□投稿者/ miyup 大御所(645回)-(2006/08/25(Fri) 21:43:04)

■No16619に返信(やまともさんの記事)
> △ABCにおいて↑AB･↑BC=↑BC･↑CA=↑CA･↑ABが成り立つとき、△ABCはどんな三角形か。
>
>
> 感覚的には正三角形になると思うんですけど、いかがでしょうか？

$2$\vec{AB}=\vec{b}$ , $2$\vec{AC}=\vec{c}$ とおくと、 $2$\vec{BC}=\vec{c}-\vec{b}$

$2$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=\vec{BC}\cdot\vec{CA}$ より

$2$\vec{AB}\cdot\vec{BC}-\vec{BC}\cdot\vec{CA}=0$

$2$\vec{b}\cdot(\vec{c}-\vec{b})+(\vec{c}-\vec{b})\cdot\vec{c}=0$ よって、 $2$|\vec{b}|=|\vec{c}|$

同様にして、 $2$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$ すなわち正三角形ですね。

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