 | 2005/07/04(Mon) 19:11:43 編集(投稿者)
2005/07/03(Sun) 21:57:47 編集(投稿者)
2005/07/03(Sun) 21:35:47 編集(投稿者)
部分積分をまず使って、
I=∫√(x^2+A^2)dx=x√(x^2+A^2)-∫x・2xdx/(2√(x^2+A^2)
（x^2=x^2+A^2-A^2だから）
= x√(x^2+A^2)-I+A^2∫dx/√(x^2+A^2)
よって,I=(1/2)( x√(x^2+A^2)+ A^2∫dx/√(x^2+A^2))
あとはJ=∫dx/√(x^2+A^2)を求めればよい。
これは天下り的ですが,x+√(x^2+A^2)=tと置けば、
・・・・・・(ここは頑張って変形してください)・・・・・
J=∫dt/t=log|t|+c=log(x+√(x^2+A^2))+c
よって、I=(1/2)( x√(x^2+A^2)+A^2 log(x+√(x^2+A^2))+C
もし、双曲線関数をご存知なら、
I=∫√(x^2+A^2)dxに対して、x=Atと置いて、dx=Adt
I=A^2∫√(1+t^2)dt
√(1-t^2)タイプが三角なら、√(1+t^2)タイプは兄弟の双曲線で、
t=sinhyとおけば、
I=A^2∫√(１+(sinhy)^2)coshydy=A^2∫(coshy)^2dy
=A^2∫(cosh(2y)+1)dy/2=A^2(sinh(2y)/4+y/2)+C
=(1/2)(A^2sinhycoshy+A^2arcsinht)+C
=(1/2)(x√(x^2+A^2)+A^2arcsinh(x/A))+C
|