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■16495 / inTopicNo.1)

　ベクトルです

□投稿者/ いえぽ一般人(1回)-(2006/08/23(Wed) 20:27:55)

すいません学校の宿題で下の問題が分かりません
どなたかお願いします

三角形ABCがあり、辺BCの中点をD,線分ADの中点をEとする。また 0＜x＜3 を満たす実数xに対して、xﾍﾞｸﾄﾙAP+2ﾍﾞｸﾄﾙBP+ﾍﾞｸﾄﾙCP＝0ﾍﾞｸﾄﾙを満たす点Pを考える。
(1)ﾍﾞｸﾄﾙAD,ﾍﾞｸﾄﾙAEをﾍﾞｸﾄﾙAB,ﾍﾞｸﾄﾙACを用いて表せ
　ﾍﾞｸﾄﾙAPをx,ﾍﾞｸﾄﾙAB,ﾍﾞｸﾄﾙACを用いて表せ
点Pが直線BE上にあるようなxの値を求めよ
(2)点Qは、xﾍﾞｸﾄﾙAQ=3ﾍﾞｸﾄﾙBQを満たす点とする。
直線PQはxの値に関係なく直線BC上の定点Fを通ることを示し、ﾍﾞｸﾄﾙAFをﾍﾞｸﾄﾙAB,ﾍﾞｸﾄﾙACを用いて表せ

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■16499 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトルです

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(631回)-(2006/08/23(Wed) 21:22:51)

2006/08/23(Wed) 22:03:15 編集(投稿者)

■No16495に返信(いえぽさんの記事)
> 三角形ABCがあり、辺BCの中点をD,線分ADの中点をEとする。また 0＜x＜3 を満たす実数xに対して、xﾍﾞｸﾄﾙAP+2ﾍﾞｸﾄﾙBP+ﾍﾞｸﾄﾙCP＝0ﾍﾞｸﾄﾙを満たす点Pを考える。
> (1)ﾍﾞｸﾄﾙAD,ﾍﾞｸﾄﾙAEをﾍﾞｸﾄﾙAB,ﾍﾞｸﾄﾙACを用いて表せ
> 　ﾍﾞｸﾄﾙAPをx,ﾍﾞｸﾄﾙAB,ﾍﾞｸﾄﾙACを用いて表せ

$2$\vec{AD}=\frac12(\vec{AB}+\vec{AC})$ , $2$\vec{AE}=\frac12\vec{AD}=\frac14(\vec{AB}+\vec{AC})$

$2$x\vec{AB}+2\vec{BP}+\vec{CP}=\vec{0}$ のとき $2$x\vec{AB}+2(\vec{AP}-\vec{AB})+(\vec{AP}-\vec{AB})=\vec{0}$ より

$2$\vec{AP}=\frac{1}{x+3}(2\vec{AB}+\vec{AC})$

> 点Pが直線BE上にあるようなxの値を求めよ

$2$\vec{AP}=\vec{AB}+k\vec{BE}$ とおくと

$2$\vec{AP}=\vec{AB}+k(\vec{AE}-\vec{AB})=(1-\frac34k)\vec{AB}+\frac14k\vec{AC}$

係数比較して、 $2$\frac{2}{x+3}=1-\frac34k$ , $2$\frac{1}{x+3}=\frac14k$

よって、 $2$k=\frac45$ , $2$x=2$ 。

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■16504 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ベクトルです

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□投稿者/ miyup 大御所(632回)-(2006/08/23(Wed) 22:00:41)

2006/08/23(Wed) 22:04:28 編集(投稿者)
2006/08/23(Wed) 22:02:14 編集(投稿者)

■No16495に返信(いえぽさんの記事)
> (2)点Qは、xﾍﾞｸﾄﾙAQ=3ﾍﾞｸﾄﾙBQを満たす点とする。
> 直線PQはxの値に関係なく直線BC上の定点Fを通ることを示し、ﾍﾞｸﾄﾙAFをﾍﾞｸﾄﾙAB,ﾍﾞｸﾄﾙACを用いて表せ

$2$\vec{AP}=\frac{1}{x+3}(2\vec{AB}+\vec{AC})=\frac{3}{x+3}\frac{2\vec{AB}+\vec{AC}}{3}$

より、BCを１：２に分ける点をＲとおくと、 $2$\vec{AR}=\frac{2\vec{AB}+\vec{AC}}{3}$ , $2$\vec{AP}=\frac{3}{x+3}\vec{AR}$

このとき、AR:AP＝(x+3)：3 より、AP:PR=3:x　…①

$2$x\vec{AQ}=3\vec{BQ}$ より、 $2$x\vec{AQ}=3(\vec{AQ}-\vec{AB})$ よって、 $2$\vec{AQ}=\frac{3}{3-x}\vec{AB}$

このとき点Ｑは直線ＡＢ上で、AB:AQ=(3-x):3 より、AQ:BQ=3:x　…②

PQとBRの交点Ｆについて、①②およびメネラウスの定理より

$2$\frac{AP}{PR}\;\cdot\;\frac{RF}{FB}\;\cdot\;\frac{BQ}{QA}=1$ すなわち $2$\frac{3}{x}\;\cdot\;\frac{RF}{FB}\;\cdot\;\frac{x}{3}=1$

よって、 $2$\frac{RF}{FB}=1$ すなわち、ＲＦ：ＦＢ＝１：１で、点ＦはＢＲの中点になる（xの値に無関係）。

以上より、BF:FC=1:5 で、 $2$\vec{AF}=\frac{5\vec{AB}+\vec{AC}}{6}$ 。

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■16505 / inTopicNo.4)

　Re[2]: ベクトルです

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□投稿者/ いえぽ一般人(2回)-(2006/08/23(Wed) 22:03:02)

丁寧にありがとうございました

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