数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 格子点の問題です。 / Page: 0]

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■16355 / inTopicNo.1)

　格子点の問題です。

□投稿者/ Tom 一般人(10回)-(2006/08/20(Sun) 12:13:04)

2006/08/20(Sun) 12:20:00 編集(投稿者)
2006/08/20(Sun) 12:16:46 編集(投稿者)

下の問題のⅠ(2)以降がわからないんですけど、連続問題なのでその前の部分の問題も解答と一緒に書いておきます。
それを利用して、残りの問題の解法を教えてください。

$2$a,b$ は互いに素な自然数であるとする。このとき、
【Ⅰ】
$2$xy$ 平面上の格子点の集合
　　　 $2$K={(x,y)|x,y$ ∈ $2$N$ ;1≦ $2$x$ ≦ $2$b-1$ ,1≦ $2$y$ ≦ $2$a-1}$
の各要素 $2$A(x,y)$ に、自然数 $2$f(x)=ax+by$ を対応させる。このとき、
(1)Ｋの要素Ａ、Ｂについて、 $2$f(A)=f(B)$ ならばＡ＝Ｂであることを示せ。
(2)Ｋの要素 $2$A(x,y)$ に対して, $2$A'(b-x,a-y)$ とすると、Ａ'∈Ｋ、Ａ'≠Ａを示せ。
(3)(2)のＡ，Ａ'について、 $2$f(A)\leq ab$ と $2$f(A')\geq ab$ は同値であることを示せ。
(4) $2$f(A)\leq ab$ を満たすＫの要素Ａの個数を求めよ。
【Ⅱ】
自然数全体の集合Ｎの部分集合
　　　 $2$S={ax+by|x,y$ ∈ $2$N}$
について、Ｓはある整数 $2$n$ 以上のすべての整数を含むことを示し、そのような $2$n$ の最小値を求めよ。

解答【Ⅰ】(1)
(1) $2$A(x,y),B(x',y')$ とすると、 $2$f(A)=f(B)$ より $2$ax+by=ax'+by'$ ⇔ $2$a(x-x')=b(y'-y)$ ･････①
①の右辺は $2$b$ の倍数で、 $2$a,b$ は互いに素であるから
$2$x-x'$ は $2$b$ の倍数で、 $2$-(b-2)$ ≦ $2$x-x'$ ≦ $2$b-2$ より
$2$x-x'=0$ ∴ $2$y-y'=0$ (∵①)　　　　∴Ａ＝Ｂ

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■16359 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 格子点の問題です。

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(605回)-(2006/08/20(Sun) 15:18:17)

■No16355に返信(Tomさんの記事)
> $2$a,b$ は互いに素な自然数であるとする。このとき、
> 【Ⅰ】
> $2$xy$ 平面上の格子点の集合
> 　　　 $2$K={(x,y)|x,y$ ∈ $2$N$ ;1≦ $2$x$ ≦ $2$b-1$ ,1≦ $2$y$ ≦ $2$a-1}$
> の各要素 $2$A(x,y)$ に、自然数 $2$f(A)=ax+by$ を対応させる。このとき、
> (1)Ｋの要素Ａ、Ｂについて、 $2$f(A)=f(B)$ ならばＡ＝Ｂであることを示せ。
> (2)Ｋの要素 $2$A(x,y)$ に対して, $2$A'(b-x,a-y)$ とすると、Ａ'∈Ｋ、Ａ'≠Ａを示せ。

1≦x≦b-1, 1≦y≦a-1 より、1≦b-x≦b-1, 1≦a-y≦a-1 よって、Ａ'∈Ｋ。

Ａ＝Ｂならばf(A)=f(B) は明らかなので(1)より、Ａ＝Ｂ ⇔ f(A)＝f(B)。すなわち f(A)≠f(B) ⇔ Ａ≠Ｂ。

　さて、f(A)-f(A')=ax+by-{a(b-x)+b(a-y)}=2(ax+by-ab) について

　f(A)-f(A')=0 ⇔ ax+by-ab=0 ⇔ a(b-x)=by で、a,bは互いに素より

　y=ak ,b-x=bk (k=1,2,…) となるが、y=ak≧a となり、1≦y≦a-1 に反する。

　よって、f(A)≠f(A') すなわち、Ａ'≠Ａ。

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■16360 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 格子点の問題です。

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(606回)-(2006/08/20(Sun) 15:23:21)

2006/08/20(Sun) 15:48:25 編集(投稿者)
2006/08/20(Sun) 15:46:47 編集(投稿者)

■No16355に返信(Tomさんの記事)

> (3)(2)のＡ，Ａ'について、 $2$f(A)\leq ab$ と $2$f(A')\geq ab$ は同値であることを示せ。

f(A)≦ab ⇔ ax+by-ab≦0。

このとき、f(A')-ab=a(b-x)+b(a-y)-ab=-(ax+by-ab)≧0 より、f(A')≧ab。

逆も同様。

よって、f(A)≦ab ⇔ f(A')≧ab。

> (4) $2$f(A)\leq ab$ を満たすＫの要素Ａの個数を求めよ。

f(A)≦ab より、ax+by-ab≦0 よって、 $2$(1\leq)y\leq -\frac{a}{b}(x-b)$

直線 $2$y=-\frac{a}{b}(x-b)=-\frac{a}{b}x+a$ は、２点(0,a),(b,0)を通る直線で
a,b互いに素かつ1≦x≦b-1 より、直線上に格子点は存在しない。

よって、条件を全て満たす格子点は、 $2$\frac{(a-1)(b-1)}{2}$ 個。
（縦が1からa-1、横が1からb-1までの長方形を考え、その周および領域内の格子点の個数÷２とすればよい）

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