 | ■No16241に返信(ただしさんの記事)
f(z)＝1/(1+z^2)はｚ＝±iを1位の極にもちます。
A(-R,0),B(R,0)を直径の両端とするy≧0の部分の半円Cをもちいて
半円Cと線分ABからなる閉曲線をつくります。留数定理より
∫[AB+C]f(z)dz＝2πiResf(i)＝2πi*lim[z→i](z-i)f(z)=2πi*1/(2i)＝π
∫[AB]f(z)dz＝実数軸上なので∫[-R,R]1/(1+x^2)dx
∫[c]f(z)dz＝C上では|z|=Rなので
｜∫[c]f(z)dz|≦∫[C]|dz|/|z^2+1|≦∫[C]|dz|/R^2＝(半円の弧長)/R^2＝π/R
R→∞とすると
∫[AB+C]f(z)dz＝∫[AB]f(z)dz＋∫[c]f(z)dz
π＝∫[-∞,∞]1/(1+x^2)dx＋0
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