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■16190 / inTopicNo.1)

　微分

□投稿者/ Sateu 付き人(67回)-(2006/08/16(Wed) 17:38:54)

この問題が分かりませんでした。教えてください。

　次の関数f(x)について、以下の問いに答えよ。

　 $2$f(x)=$ { $2$x^2\sin {\frac{1}{x}}$ 　(x≠0のとき)　、 $2$0$ (x=0のとき)

　(1) $2$f'(0)$ を求めよ。

　(2) $2$f'(x)$ は $2$x=0$ において連続であるかを調べよ。

答えを見ると、　(1) $2$0$ , (2) $2$\lim\limits_{x \to 0 }f'(x)$ が存在しないから、連続でない　　と書かれてありました。

これらを証明するためには、どのような計算と、記述をすればよいのでしょうか？
どなたか分かる方解説お願いします。（具体的に書いてくださると嬉しいです。）

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■16193 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(539回)-(2006/08/16(Wed) 19:23:33)

関数が連続であるといえるための条件はご存知ですか？
f(a)が存在し、且つlim[x→±a]f(x)=f(a)となることです。
今回はf'(a)ですが同じです。

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■16196 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ KINO 一般人(7回)-(2006/08/16(Wed) 19:51:37)

■No16190に返信(Sateuさんの記事)

> どなたか分かる方解説お願いします。（具体的に書いてくださると嬉しいです。）

「具体的に」という要望ですので，僭越ながらそれに応えたいと思います。

(1) $2$f'(0)$ は，微分係数の定義式に従い，
$2$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
という極限計算によって求めます。
いま， $2$f(0)=0$ と定められていますので，
$2$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$
を求める必要があります。
なお，その際，正弦関数の絶対値は必ず 1 以下なので， $2$x$ がどんな値であれ，常に $2$|\sin \frac{1}{x}|\le 1$ ですから，はさみうちによって
$2$ 0\le \lim_{x\to 0}\left|x\sin \frac{1}{x}\right|\le \lim_{x\to 0}|x|=0$
となり，
$2$ \lim_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}=0$
が成り立つことを利用しましょう。

(2) $2$x\ne 0$ のときには普通に積の微分法と合成関数の微分法により $2$f'(x)$ を求めることができます。そうして得られた $2$f'(x)$ が，
$2$ \lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)=0$
をみたせば $2$f'(x)$ は $2$x=0$ において連続であるといえます。
そうでない場合，すなわち左辺の極限が存在するのに $2$0$ でないか，または収束しない（発散する）ときには $2$x=0$ で連続であるとはいえません。

というわけで，まずはとにかく $2$x\ne 0$ における $2$f'(x)$ を求めましょう。

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■16199 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 微分

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□投稿者/ Sateu 付き人(70回)-(2006/08/16(Wed) 20:15:51)

平木さんありがとうございました。
KINOさんたいへん丁寧な解答ありがとうございました。

解決済み!

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