 | ５乗６乗と次数が結構高いものなので，
α+β+γ，αβ+βγ+γα，αβγでもって計算するよりは次の方法のほうがいいと思います．
以下，S_n=α^n+β^n+γ^nとします．
α^2+β^2+γ^2=(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα)として求めておいて，
α，β，γを解にもつtの３次方程式 t^3+pt^2+qt+r=0で，
t=α，β，γについて代入したものを足し合わせると，
α^3+pα^2+qα+r=0 [ア]
β^3+pβ^2+qβ+r=0 [イ]
γ^3+pγ^2+qγ+r=0 [ウ]
S_3+pS_2+qS_1+3r=0 S_3=-(pS_2+qS_1+3r)
これで，S_3が求まります．
次に，[ア]×α [イ]×β [ウ]×γ
としたものを足し合わせると，
S_4+pS_3+qS_2+3rS_1=0 S_4=-(pS_3+qS_2+3rS_1)
として，S_4が求まります．
これを繰り返せば，S_5，S_6が順にもとまっていきます．
エレガントではないでしょうけれど・・・．
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