数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 三角関数の問題です / Page: 0]

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■16096 / inTopicNo.1)

　三角関数の問題です

□投稿者/ raia 一般人(1回)-(2006/08/14(Mon) 18:03:43)

さっそくですが…
[1] ∫xf(sinx)dx=π/2*∫f(sinx)dx　を証明せよ「ただし積分範囲は０からπまで」

→これは　ｘ＝π-tと置換することでできました
[２]　1+sinx＝２cos^2□　　(答えのみでよい)

→□の中身を求める問題ですが、手も足も出なくて…
[３]　∫x/(１+sinx)^3dx を求めよ「ただし積分範囲は０からπまで」

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■16097 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数の問題です

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1525回)-(2006/08/14(Mon) 18:18:17)

まずは [2] をやっつけましょう。
1 + sinx
= 1 + cos(π/2 - x)
= 2(cos(π/4 - x/2))^2　　(∵半角の公式より)
ですから □ = π/4 - x/2 だと思います。

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■16110 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角関数の問題です

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□投稿者/ raia 一般人(3回)-(2006/08/14(Mon) 20:56:10)

ということは
[２]より[３]はπ/２*∫１/８{cos(π/４ーｘ/２)}＾６ｄｘ(積分範囲は０からπ)
ということで良いんでしょうか？
……かえって複雑になっている気が(汗)
In+1=n-1/n*In-1=∫cos^(n+1)xdx に持ち込めそうで持ち込めないし…
cosの中身をｔと置いても複雑だし…
たびたびすみませんがよろしくお願いします

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■16112 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角関数の問題です

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□投稿者/ miyup 大御所(583回)-(2006/08/14(Mon) 21:39:52)

2006/08/14(Mon) 22:10:56 編集(投稿者)
2006/08/14(Mon) 22:08:24 編集(投稿者)

■No16110に返信(raiaさんの記事)
> ということは
> [２]より[３]はπ/２*∫１/８{cos(π/４ーｘ/２)}＾６ｄｘ(積分範囲は０からπ)
> ということで良いんでしょうか？
> ……かえって複雑になっている気が(汗)

たいへんそうですね。

$2$\frac{\pi}{2}\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{1}{(1+\sin x)^3}dx=\frac{\pi}{2}\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{1}{8\cos ^6 (\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}dx=\frac{\pi}{2}\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{1}{8\cos ^6 (\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})}dx$

$2$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}$ とおくと

$2$=\frac{\pi}{2}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{4\cos ^6 t}dt=\frac{\pi}{2}\cdot 2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{4\cos ^6 t}dt=\frac{\pi}{4}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos ^6 t}dt$

$2$u=\tan t$ とおくと　 $2$du=\frac{1}{\cos ^2 t}dt$ , $2$\cos ^2 t=\frac{1}{1+u^2}$ より

$2$=\frac{\pi}{4}\displaystyle\int_0^1(1+t^2)^2du$

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■16113 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三角関数の問題です

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□投稿者/ raia 一般人(5回)-(2006/08/14(Mon) 22:36:45)

な、なんとか出来ました…

答えは(－４/１５*π)
マイナスな所が激しく不安ですが…
ありがとうございました

解決済み!

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■16114 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 三角関数の問題です

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□投稿者/ miyup 大御所(584回)-(2006/08/14(Mon) 22:44:28)