 | ■No1608に返信(ダック、ダック、ダック。さんの記事)
頂点の座標を (p,q) とすると q=-p という関係があることから，求める2次関数を
y=a(x-p)^2-p (a≠0) とおき，(3,3) と (1,-1) を通るという条件から
3=a(3-p)^2-p
-1=a(1-p)^2-p
という連立方程式を解くのがひとつのやり方です。
この連立方程式を解くのは一苦労ですが，たまたま -1=a(1-p)^2-p は 0=(p-1){a(p-1)-1} と因数分解できます。これより p=1 というのが一つの解だとわかります。このとき，もうひとつの方程式より 3=4a-1, つまり a=1 を得ます。
もし p≠1 だったら，a(p-1)=1 となり，3=a(3-p)^2-p の両辺に (p-1) をかけて a(p-1)=1 を使うと 3(p-1)=(3-p)^2-p(p-1)=-5p+9. これを解いて p=3/2. よって a=2 となります。
上級（？）テクニックとして，解くべき方程式を一つだけにする方法もあります。
a≠0 として y=a(x-3)(x-1)+(1/2)*(x-3)+(3/2)*(x-1) とおけば，グラフが (3,3), (1,-1) を通るような2次関数になります。
あとは a を決めます。展開すると
a(x^2-4x+3)+2x-3=ax^2-2(2a-1)x+3(a-1)
なので，頂点の座標は (2-1/a,-(a^2-a+1)/a).
これが y=-x 上にあることから，2-1/a=(a^2-a+1)/a.
両辺に a をかけて整理すると a^2-3a+2=0. よって a=1, 2.
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