数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 数列の問題 / Page: 0]

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■16064 / inTopicNo.1)

　（削除）

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□投稿者/ -(2006/08/13(Sun) 22:05:41)

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■16067 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の問題

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□投稿者/ r@PCLabo 一般人(16回)-(2006/08/13(Sun) 23:14:53)
http://blog.livedoor.jp/r_risd/

■No16064に返信(杏さんの記事)
> 記号＋と－を重複を許し一列に並べてできる列のうち、同じ記号は3つ以上連続して並ばないものと考える。
> ＋と－という記号を全部でn個(n≧2)使って作られるこのような列のうち、最後が＋＋または－－で終わる
> 列の個数をa[n]とおき、最後が＋－または－＋で終わる列の個数をb[n]とおく。
> (1)a[n+1]とb[n+1]をa[n]とb[n]を用いて表せ。
> (2)数列{a[n]+rb[n]}が公比rの等比数列となるようなrの値を全て求めよ。
> (3)長さがnのような列の個数a[n]+b[n]を求めよ。
>
> a[n+1]とa[n]の規則性を探そうと実際に書いてみたのですが、わかりませんでした。
> 何をやればいいか全くわかりません。
> よろしくお願いします。
>
すべて異なり条件を満たすa[n]個の++もしくは--で終わる列があるとき、そこに1つの記号をつけて条件を満たすようにするには、それぞれ-、+と一意に定まってしまいます。するとそれらの列は自動的に+-もしくは-+で終わることになります。するとそれらはb[n+1]にカウントされます。

同じように、すべて異なり条件を満たすb[n]個の+-もしくは-+で終わる列があるとき、そこに1つの記号をつけて条件を満たすようにする場合はどちらの記号をつけても問題ありません。+-に+[-+に-]をつけたらb[n+1]、+-に-[-+に+]をつけたらa[n+1]にカウントされますね。

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■16068 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数列の問題

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□投稿者/ はまだ大御所(447回)-(2006/08/13(Sun) 23:15:01)

■No16064に返信(杏さんの記事)
（1）
a[n+1]の末尾は-++か+--ですので
ｎ個並べた時点で-+で終わり(n+1)個目に＋を置く、または+-で終わり(n+1)個目に-を置くので
a[n+1]=b[n]
b[n+1]の末尾は+-+、--+、-+-、++-、つまりn個並べた時の末尾と異なる符号を(n+1)番目に置けばよいので
b[n+1]＝a[n]+b[n]

（2）a[n+1]＋rb[n+1]＝b[n]+r(a[n]+b[n])=ra[n]+(r+1)b[n]
=r{a[n]+(r+1)/r*b[n]}
r=(r+1)/r なら等比数列になる。

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■16070 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 数列の問題

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□投稿者/ 杏一般人(4回)-(2006/08/13(Sun) 23:42:39)

ありがとうございます。(2)にまで答え出せました。
(3)がまだわかりません。(2)を使うんだろうなとは思うのですが、わかりません。
お願いします。

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■16071 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 数列の問題

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□投稿者/ はまだ大御所(448回)-(2006/08/14(Mon) 00:13:30)

■No16070に返信(杏さんの記事)
初項がa[2],b[2]である点に注意します。つまり等比数列の公式をつかうとき
a[n]+rb[n]は第(n-1)項扱いです。
r^2-r-1＝0の解をα、βとします。
a[n]+αb[n]＝{a[2]+αb[2]}α^(n-2)＝(2+2α)α^(n-2)
α^2＝α+1より
a[n]+αb[n]＝2α^2*α^(n-2)＝2α^n
a[n]+βb[n]＝2β^n
2つの式の差をとって
b[n]＝2(α^n－β^n)/(α-β)
a[n]＝・・・・

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■16075 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 数列の問題

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□投稿者/ 杏一般人(5回)-(2006/08/14(Mon) 01:46:37)

2/√5{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}{(1-√5)/2}^n
これってあってますか？

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■16083 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 数列の問題

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□投稿者/ はまだ大御所(451回)-(2006/08/14(Mon) 11:26:12)

■No16075に返信(杏さんの記事)
b[n+1]＝a[n]+b[n]なので
a[n]+b[n]＝2(α^(n+1)－β^(n+1))/(α-β)