数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 三角形の性質の問題です。教えて下さい。 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■16061 / inTopicNo.1)

　三角形の性質の問題です。教えて下さい。

□投稿者/ るな一般人(15回)-(2006/08/13(Sun) 20:53:43)

また下の問題がわかりません。

(1)において三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点をＭとする。このとき等式
AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)を示しました。
わからないのは(2)です。
四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ，ＢＤの中点をそれぞれＭ，Ｎとする。このとき、等式
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+MN^2
が成り立つことを(1)の結果を利用して示せ。
という問題です。

うまく方針が立ちません。
どなたか方針だけでもよろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■16062 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角形の性質の問題です。教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1524回)-(2006/08/13(Sun) 21:27:56)

> AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+MN^2
これは一般には成り立たないように思います

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■16063 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角形の性質の問題です。教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ laki 付き人(56回)-(2006/08/13(Sun) 21:43:58)

2006/08/13(Sun) 22:04:49 編集(投稿者)

AB^2+DA^2=2(AN^2+NB^2)
AB^2+BC^2=2(BM^2+MA^2)
BC^2+CD^2=2(CN^2+NB^2)
CD^2+DA^2=2(DM^2+MA^2)
4式たして、2で割ると
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AN^2+BM^2+CN^2+DM^2+2MA^2+2NB^2‥☆

(i)MとNが一致しないとき
⊿NAC,⊿MBDにおいて、
NA^2+NC^2=2(NM^2+MA^2)
MB^2+MD^2=2(MN^2+NB^2)
☆と上の2式たして
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4MN^2+4MA^2+4NB^2
⇔AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4MN^2+AC^2+BD^2(∵AM=AC/2,BN=BD/2)

(ii)MとNが一致するとき
☆の右辺=AM^2+BM^2+CM^2+DM^2+2AM^2+2BM^2
=4AM^2+4BM^2(∵AM=CM,BM=DM)
=AC^2+BD^2
これは(i)の式と同じ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■16109 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角形の性質の問題です。教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ るな一般人(16回)-(2006/08/14(Mon) 20:50:54)

すいません!!うち間違えていました。
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2
です。

lakiさんに書いていただいた
(i)のAB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4MN^2+4MA^2+4NB^2
⇔AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4MN^2+AC^2+BD^2(∵AM=AC/2,BN=BD/2)
の部分がAM=AC/2,BN=BD/2からだと
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4MN^2+2AC^2+2BD^2
となりませんか？？
あと、(ii)もなぜ同じか良く分からないので教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■16111 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三角形の性質の問題です。教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ laki 付き人(58回)-(2006/08/14(Mon) 21:14:44)

> (i)のAB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4MN^2+4MA^2+4NB^2
M,Nは中点なので、AM=AC/2,BN=BD/2

AM^2=(AC/2)^2=AC/4
BN^2=(BD/2)^2=BD/4です。

> あと、(ii)もなぜ同じか良く分からないので教えて下さい。

MN^2を無理やりつくるために
⊿NAC,⊿MBDに(1)の結果を使いました。

ただし、MとNが一致している図形(例えば,平行四辺形)
では⊿NAC,⊿MBDの三角形ができないので
(i),(ii)で場合分けしました。

(ii)のときでは、M,Nが一致する⇒MN=0
となります。
(ii)の式と(i)の式を比べると、
MN以外の項は同じです。なので
一般的に、どんな四角形でも
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4MN^2+AC^2+BD^2
((ii)のときはMN=0)
が成り立つということです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■16148 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 三角形の性質の問題です。教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ るな一般人(17回)-(2006/08/15(Tue) 21:20:16)

ご丁寧にありがとうございました☆
わかりました!!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター