 | どこが間違っているかというと、
> 1/ｘ + 4/ｙ≧2√（4/ｘｙ）＝4√（1/ｘｙ）
> 等号は1/ｘ＝4/ｙで成り立つからｘ＝1/5、ｙ＝4/5
ここまでは確かにあっています。そして、1/(xy) が確かに x=1/5, y=4/5 の時に
最小になれば正解ですが、残念ながらこの値は x,y に応じて変わります。なので、今度は、1/(xy)の値を調べないといけないのです。そして、もし、1/(xy)を最小にする x,y が x=1/5, y=4/5 でなければ、1/x + 4/y の値の最小値もよくわからなくなってしまいます。
簡単な例を挙げましょうか。
x,y>0, xy=1 の時、x+y の最小値を求めよ、という問題を考えます。
普通に相加相乗を使えば、
x+y≧2√(xy)=2 で、等号は x=y=1 の時、となります。この場合、右辺が定数２なので、どんなx,yでも成立し、実際x=y=1 の時は等号が成立するので正解となります。
でも、x≧y として考えてもいいので、そうします。すると、x+y= 2x+(y-x)でもあり、x+y≧2√(2x(y-x)) で、等号成立は2x=y-x(y=3x)の時。これと xy=1 とをあわせると、x=1/√3, y=√3 となるので、x+y の最小値は 1/√3+√3=2.3.... としたら間違いです。
x+y=2x+(y-x) としましたが、ここは x+y=ax+(y-ax) など、いろいろ変えられますから、これではまずいことはわかりますよね？
|