 | まず、最小の二つの項を因数分解します。
(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3
= {(a - b)^3 + (b - c)^3} + (c - a)^3
= {(a - b) + (b - c)}{(a - b)^2 - (a - b)(b - c) + (b - c)^2} + (c - a)^3
= (a - c){(a - b)^2 - (a - b)(b - c) + (b - c)^2} + (c - a)^3
全体に共通因数 (c - a) があらわれたので、それでくくります。
= (c - a){-(a - b)^2 + (a - b)(b - c) - (b - c)^2 + (c - a)^2}
= (c - a){(a - b)(b - c) - (b - c)^2 + (c - a)^2 - (a - b)^2}
中括弧の中身を前二つ、後ろ二つで因数分解します。
= (c - a){(b - c)(a - b - b + c) + (c - a - a + b)(c - a + a - b)}
= (c - a){(b - c)(a - 2b + c) - (c - 2a + b)(b - c)}
中括弧の中に共通因数 (b - c) があらわれたので、それでくくります。
= (c - a)(b - c){(a - 2b + c) - (c - 2a + b)}
= (c - a)(b - c)(3a - 3b)
美しく整理して
= 3(a - b)(b - c)(c - a)
できあがり☆
≪別解≫
上のような地味な解き方してたら老けちゃうわ、というのであれば、有名な因数分解の公式
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
において x = (a - b) , y = (b - c) , z = (c - a) とおいてみましょう。瞬殺です。
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