数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 平均値の定理 / Page: 0]

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■16010 / inTopicNo.1)

　平均値の定理

□投稿者/ ヒロ一般人(1回)-(2006/08/12(Sat) 10:56:53)

関数y=f(x)の第２次導関数f"(x)の値が常に正とする。
このとき実数a,b,t(a＜b,0≦t≦1)について不等式
f((1-t)a+tb)≦(1-t)f(a)+tf(b)
が成り立つことを示せ。また,等号が成り立つのはどのような場合か。

平均値の定理使うんですが･･･
よろしくお願いします

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■16015 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 平均値の定理

▲▼■

□投稿者/ laki 付き人(52回)-(2006/08/12(Sat) 12:33:06)

2006/08/12(Sat) 13:00:05 編集(投稿者)
2006/08/12(Sat) 12:48:54 編集(投稿者)
2006/08/12(Sat) 12:34:57 編集(投稿者)

■No16010に返信(ヒロさんの記事)
> 関数y=f(x)の第２次導関数f"(x)の値が常に正とする。
> このとき実数a,b,t(a＜b,0≦t≦1)について不等式
> f((1-t)a+tb)≦(1-t)f(a)+tf(b)
> が成り立つことを示せ。また,等号が成り立つのはどのような場合か。

F(t)=(1-t)f(a)+tf(b)-f((1-t)a+tb)とおく。
F'(t)=f(b)-f(a)-(b-a)f'((1-t)a+tb)
F''(t)=-(b-a)^2*f''((1-t)a+bt)<0
ゆえにF'(t)は単調減少関数、

平均値の定理より、
f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)となるcがa<c<bに存在し
f''(x)>0より、y=f'(x)は増加関数であるのでf'(a)<f'(c)<f'(b)
∴F'(0)=f(b)-f(a)-(b-a)f'(a)=(b-a)(f'(c)-f'(a))>0
F'(1)=f(b)-f(a)-(b-a)f(b)=(b-a)(f'(c)-f'(b))<0
よって、F'(t')=0となるt'が0<t'<1に存在する。
t=t'の前後でF(t)の符号が正から負になるのでF(t)はt=t'で最大値を持つ。
F(0)=F(1)=0より、0≦t≦1でF(t)≧0
⇔f((1-t)a+tb)≦(1-t)f(a)+tf(b)
等号はt=0,1のとき。

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■16017 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 平均値の定理

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1521回)-(2006/08/12(Sat) 12:39:37)

(i) t ≠1 , 0 のとき

平均値の定理より

$2$\displaystyle \frac{f((1-t)a+tb)-f(a)}{(1-t)a+tb-a}=\frac{f((1-t)a+tb)-f(a)}{t(b-a)}=f^{\prime}(c_{1})$

$2$\displaystyle \frac{f(b)-f((1-t)a+tb)}{b-(1-t)a-tb}=\frac{f(b)-f((1-t)a+tb)}{(1-t)(b-a)}=f^{\prime}(c_{2})$

となる $2$c_{1}\in(a,(1-t)a+tb) , c_{2}\in((1-t)a+tb,b)$ が存在し、

$2$f^{\prime\prime}(x)>0,c_{1}<c_{2}$ だから

$2$f^{\prime}(c_{1})<f^{\prime}(c_{2})$

すなわち

$2$ \displaystyle \frac{f((1-t)a+tb)-f(a)}{t(b-a)}<\frac{f(b)-f((1-t)a+tb)}{(1-t)(b-a)}$

が成り立ち、これを整理して

$2$f((1-t)a+tb)<(1-t)f(a)+tf(b)$

を得る。

(ii) t = 0 , 1 のとき

このときは、それぞれを代入すると

t = 0 のとき (左辺) = (右辺) = f(a)

t = 1 のとき (左辺) = (右辺) = f(b)

で、成立。

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■16018 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 平均値の定理

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□投稿者/ laki 付き人(53回)-(2006/08/12(Sat) 12:45:56)

2006/08/12(Sat) 13:12:15 編集(投稿者)

気づいているかもしれませんが一応補足

f((1-t)a+tb)は、x座標のa,bをt:1-tに内分した点,x=(1-t)a+tbの
f(x)の値。((1-t)a+tb,f((1-t)a+tb))

(1-t)f(a)+tf(b)は、2点(a,f(a)),(b,f(b))をつないだ直線を
t:1-tに内分した点((1-t)a+tb,(1-t)f(a)+tf(b))であり、この点もx=(1-t)a+bt上にある。

f''(x)>0よりy=f(x)は、下に凸なので
y=f(x)は、(a,f(a)),(b,f(b))をつないだ直線より下側。
f((1-t)a+tb)≦(1-t)f(a)+tf(b)
は明らかです。

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