数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 最大公約数と最小公倍数 / Page: 0]

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■15978 / inTopicNo.1)

　最大公約数と最小公倍数

□投稿者/ satsuma 一般人(21回)-(2006/08/11(Fri) 19:11:42)

最大公約数と最小公倍数の問題で
3つの異なる自然数a,b,c(a<b<c)についてaとbとcの最大公約数は12,最小公倍数は216のとき、a,b,cを求めよ。
という問題で、
セオリーどおり、a=12x,b=12y,c=12z(x,y,zは互いに素)とおきますと、
x,y,zの,最小公倍数18であるということからx<y<zを満たすようなx,y,zの組を求めればよいのですが、
その際、たとえば、
2つの異なる自然数a,b(a<b)についてaとbとcの最大公約数は12,最小公倍数は216のとき、a,bを求めよ。
などの場合、最小公倍数は12xyとなるので、12xy=216となるのですが、
3つ場合、12xyz=216とはならないのでしょうか。
また、zは最大なので18または9でなければならないと解答にあるのですが、その理由が分かりません。
どうかよろしくお願い致します。

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■15987 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 最大公約数と最小公倍数

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□投稿者/ Ｎ付き人(85回)-(2006/08/11(Fri) 19:46:50)

＞3つ場合、12xyz=216とはならないのでしょうか。

いえ、12xyz=216となります。

＞また、zは最大なので18または9でなければならないと解答にあるのですが、その理由が分かりません。

これはxとy、yとz、zとxが（当然ｘとｙとｚはもちろんのこと）それぞれ１より大きい公約数を持ってはいけないということから、言えるのだと思います。

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■15994 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 最大公約数と最小公倍数

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□投稿者/ satsuma 一般人(22回)-(2006/08/11(Fri) 22:17:40)

後半についてですが、x,y,zが互いに素であるということからそういえるということですね。分かりました。
前半についてなのですが、解答によりますと、
(x,y,z)=(2,3,9)の場合などもあるということでこの場合だと、12xyz=648となり、216になりません。
一応解答にある(x,y,z)を載せておきます。
(x,y,z)=
(1,2,18),(1,3,18),(1,6,18),(1,9,18),(2,3,18),(2,9,18)
(1,2,9),(1,6,9),(2,3,9),(2,6,9)

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■16011 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 最大公約数と最小公倍数

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1520回)-(2006/08/12(Sat) 11:08:49)

2006/08/12(Sat) 11:40:45 編集(投稿者)

横から失礼します。

＞ 3つ場合、12xyz=216とはならないのでしょうか。
一般的には、ならないと思います。

…というか、satsumaさんは大きな誤解をしていらっしゃると思います。
＞セオリーどおり、a=12x,b=12y,c=12z(x,y,zは互いに素)とおきますと、
ここは (x , y , z の最大公約数は 1 ) とすべきです。
(x , y , z は互いに素) = (x , y , z の最大公約数は 1)と勘違いされてませんか？これは間違いです。
satsumaさん自身が挙げた例 (x , y , z) = (2 , 3 , 9) は、x , y , z が互いに素になっていませんね。

x , y , z が互いに素ならば x , y , z の最小公倍数は xyz です。
しかし、x , y , z の最大公約数が 1 だからといって必ずしも x , y , z の最小公倍数が xyz とはいえません。
例えば x , y , z の最大公約数が 1 で x , y の最大公約数が p (p > 1) だとすると、
つまり、x = px' , y = py' (x' y' は互いに素) と書けるとすると、x , y , z の最小公倍数は px'y'z ≠ p^2x'y'z = xyz ですね。
よって x , y , z の最大公約数が 1 のときは、 x , y , z の最小公倍数が 18 だからといって必ずしも xyz = 18 が成り立つわけではないのです。

こう考えると、自然数が2つの場合に、なぜうまくいったかというと、
(x , y は互いに素) = (x , y の最大公約数は 1)
だから、ということになりそうです。

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■16013 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 最大公約数と最小公倍数

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□投稿者/ satsuma 一般人(23回)-(2006/08/12(Sat) 12:10:08)

どうもありがとうございます。。
なるほど。私はすっかり、最大公約数が1ということは互いに素という風に思っていましたが、
それは二つの時だけで、３つ以上の場合はそうはいえないのですね。
x,y,zが互いに素でないとすると、「zは最大なので18または9でなければならない」ということは
どこから来ているのでしょうか。解答にはいきなりポンっと書いてあるので、困っています。
そこは何も考えずに代入していって、やっていけば不適のものが見つかって答えは出るのでしょうけれども、解答のように言える理由、そこが気がかりです。

また、さっきはなんとなく当たり前かなと思っていたのですが、
「a=12x,b=12y,c=12z(x,y,zの最大公約数は1)とおくと、x,y,zの,最小公倍数18である」
というところで、216を12で割れば18が出てきますが、それがx,y,zの最小公倍数であるという理由が分かりません。
初め見たときは、感覚的にそうだなぁと思っていたのですが、振り返ってみて、
式でx,y,zの最小公倍数が18であることを言おうとするとどうなるのかなと思って、行き詰まりました。

何度も申し訳ありませんが、この２点を教えてください。よろしくお願いします。

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■16021 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 最大公約数と最小公倍数

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□投稿者/ Ｎ付き人(86回)-(2006/08/12(Sat) 17:26:13)

失礼しました、間違えてました。
だるまにおんさん訂正ありがとうございます。
satsumaさん、すいませんでした。

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■16077 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 最大公約数と最小公倍数

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□投稿者/ satsuma 一般人(25回)-(2006/08/14(Mon) 09:09:44)

Nさん、こちらこそ申し訳ないです。自分の勘違いだったのですから。。

どなたか、上記２点について教えてくださらないでしょうか。。よろしくお願い致します。

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■16079 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 最大公約数と最小公倍数

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□投稿者/ はまだ大御所(450回)-(2006/08/14(Mon) 09:33:09)

■No16013に返信(satsumaさんの記事)
「zは最大なので18または9でなければならない」の理由
x,y,zの最小公倍数は18
→x,y,zは18＝2^1×3^2の約数である。
→x,y,zのどれかは因数に3^2＝9が入っている。
→最大数Zは9以上
→zは18の約数でかつ9以上
→ｚ＝9,18

「a=12x,b=12y,c=12z(x,y,zの最大公約数は1)とおくと、x,y,zの,最小公倍数18である」の理由
a,b,cの最小公倍数は216
→aは216の約数「ka＝216」
→12xは216の約数「k(12x)＝216」
→「kx＝18」
→xは18の約数
y,zも同様

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■16081 / inTopicNo.9)

　Re[6]: 最大公約数と最小公倍数

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□投稿者/ satsuma 一般人(27回)-(2006/08/14(Mon) 10:59:34)

どうも有難うございました。ようやく理解することができました。
本当にありがとうございました。。

解決済み!

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