数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 表面積の少ない形 / Page: 0]

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■15855 / inTopicNo.1)

　表面積の少ない形

□投稿者/ しんいち一般人(1回)-(2006/08/09(Wed) 12:34:44)

僕は海外のインターナショナルスクールに行っています。ある課題で氷などは表面積の少ないほうがが熱を保ちやすいですが、氷の形を円柱、円錐、四角錐にした時どの立体が一番長く熱を保ちやすいのですかという問題が出ました。よくやり方がわからないのですがみなさん知りませんか？ちなみに体積は１００ｍｌと固定されています。できればなぜそうなるのかも教えてください。宜しくお願いします。

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■15870 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 表面積の少ない形

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□投稿者/ ６６６６６６一般人(6回)-(2006/08/09(Wed) 15:12:45)

■No15855に返信(しんいちさんの記事)
> 僕は海外のインターナショナルスクールに行っています。ある課題で氷などは表面積の少ないほうがが熱を保ちやすいですが、氷の形を円柱、円錐、四角錐にした時どの立体が一番長く熱を保ちやすいのですかという問題が出ました。よくやり方がわからないのですがみなさん知りませんか？ちなみに体積は１００ｍｌと固定されています。できればなぜそうなるのかも教えてください。宜しくお願いします。
たとえば円柱でも円の半径によって表面積は変わるので、他に何か書いてないですか？

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■15872 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 表面積の少ない形

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□投稿者/ らすかる大御所(423回)-(2006/08/09(Wed) 15:46:24)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

「100mlの円柱で最も表面積が小さくなるもの」の表面積
「100mlの円錐で最も表面積が小さくなるもの」の表面積
「100mlの四角錐で最も表面積が小さくなるもの」の表面積
の比較ではないでしょうか。

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■15881 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 表面積の少ない形

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□投稿者/ しんいち一般人(2回)-(2006/08/09(Wed) 18:11:04)

■No15872に返信(らすかるさんの記事)
> 「100mlの円柱で最も表面積が小さくなるもの」の表面積
> 「100mlの円錐で最も表面積が小さくなるもの」の表面積
> 「100mlの四角錐で最も表面積が小さくなるもの」の表面積
> の比較ではないでしょうか。
この場合100mlの円柱、円錐、四角錐で最も表面積が小さいものはなんでしょうか？分かれば教えてください

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■15935 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 表面積の少ない形

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□投稿者/ ６６６６６６一般人(7回)-(2006/08/10(Thu) 16:16:50)

インターナショナルスクールっていいですね。
(半径r　高さh　正方形の一辺a)
円柱
体積=100=r^2hπ
表面積=r^2π+2rhπ

円錐
体積=100=r^2hπ/3
表面積=r^2π+√(h^2+r^2)

四角錐
体積=100=a^2h/3
表面積=a^2+2√(4h^2+a~2)
これからそれぞれ表面積の最小値を求めればいいと思います。

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■15947 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 表面積の少ない形

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□投稿者/ しんいち一般人(3回)-(2006/08/10(Thu) 20:58:38)

すいませんこれからどのように表面積を求めればいいのでしょうか？

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■15957 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 表面積の少ない形

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□投稿者/ はまだ大御所(440回)-(2006/08/11(Fri) 01:03:31)

■No15947に返信(しんいちさんの記事)
「円柱」半径r、高さh
体積V＝πr^2h、表面積S1＝2πr^2+2πrh
hを消去して
S1＝2πr^2+2V/r
相加・相乗平均の関係より
S1＝2πr^2+V/r+V/r≧3{2πr^2*V/r*V/r}^(1/3)
S1^3≧27*2πV^2
等号成立は2πr^2＝V/r＝V/r→r＝(V/2π)^1/3のとき
S1^3の最小値は27*2πV^2

「円錐」半径r、高さh、母線L
ここでは、L＞hに注目し、表面積の最小値そのものではなく、表面積の最小値はこの値より大きくなるという下限値を求めます。
3V＝πr^2h、表面積S2＝πr^2+πrL＞πr^2+πrh
hを消去して
S2＞πr^2+3V/r
相加・相乗平均の関係より
S2^3＞27*(3π/4)V^2＞27*(8/4)πV^2＝S1^3の最小値

「四角錐」底面は正方形で1辺a、高さh、側面は4つ合同な二等辺三角形でその高さL
ここでも、L＞hに注目し、
3V＝a^2h、表面積S3＝a^2+2aL＞a^2+2ah
hを消去して
S3＞a^2+6V/a
相加・相乗平均の関係より
S3^3＞27*9V^2＞27*2πV^2＝S1^3の最小値

したがって、各表面積の最小値は「円柱」が最小である。

四角錐の底面の形は他にもありますがそれでも「円柱」が最小になります。

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■16001 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 表面積の少ない形

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□投稿者/ しんいち一般人(4回)-(2006/08/12(Sat) 00:47:04)

相加・相乗平均の関係をくわしく説明していただけますか？

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■16002 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 表面積の少ない形

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□投稿者/ はまだ大御所(442回)-(2006/08/12(Sat) 00:52:50)

■No16001に返信(しんいちさんの記事)
相加・相乗平均の関係がわからなければ
S1＝2πr^2+2V/r
をrで微分して最小値を求める方法に切り替えた方がよいと思います。
dS1/dr＝4πr-2V/r^2＝(4πr^3-2V)/r^3
よって、S1はr^3＝2V/4πのとき極小値をとる。