数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 積分です / Page: 0]

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■15842 / inTopicNo.1)

　積分です

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□投稿者/ 大学生一般人(1回)-(2006/08/09(Wed) 09:53:51)

∫[-∞→∞]exp(-λx^2)dxなんですけど、どうやればいいのかわかりません。
お願いします

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■15844 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分です

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(526回)-(2006/08/09(Wed) 10:27:02)

2006/08/09(Wed) 10:31:51 編集(投稿者)

■No15842に返信(大学生さんの記事)
> ∫[-∞→∞]exp(-λx^2)dxなんですけど、どうやればいいのかわかりません。
> お願いします
>
$2$=I$ と置きます。
$2$I^2=\displaystyle \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\exp\left{-\lambda(x^2+y^2)\right}}dxdy$ となります。
ここで $2$x=r\cos \theta , y=r\sin \theta$ とすると
dxdy=|∂(x,y)/∂(r,θ)|drdθ　　　　（すみません、∂のTEXがわからなかった
ので）
∂(x,y)/∂(r,θ)= $2$r\cos ^2\theta+r\sin ^2\theta=r$ ですので
$2$dxdy=rdrd\theta$ となります。
すると元の積分 $2$I^2$ は
$2$\displaystyle \displaystyle\int_0^{2\pi}d\theta\displaystyle\int_0^{\infty}{r\exp(-\lambda{r^2})}dr$
$2$\displaystyle =2\pi\displaystyle\int_0^{\infty}{r\exp(-\lambda{r^2})}dr$
$2$=2\pi\left[-\frac{1}{2\lambda}\exp(-\lambda{r^2})\right]_0^{\infty}$
$2$=2\pi\cdot\frac{1}{2\lambda}$
$2$=\frac{\pi}{\lambda}$
よって
$2$I=\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}$
となります。

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■15868 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分です

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□投稿者/ 大学生一般人(2回)-(2006/08/09(Wed) 14:39:06)

> ∂(x,y)/∂(r,θ)= $2$r\cos ^2\theta+r\sin ^2\theta=r$ ですので
> $2$dxdy=rdrd\theta$ となります。
なぜこうなるのか教えてください

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■15875 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分です

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□投稿者/ サボテン一般人(11回)-(2006/08/09(Wed) 15:52:35)

横から失礼致します。正確にはJacobianと言う行列式を用いて議論します。
ここでは直感的な説明になってしまいますが、dxdyは長方形の微小面積で
rdrdθも長方形の微小面積になるからです。
半径rの円を描いてみます。
rdθが弧の長さであり、それに垂直な半径方向にdrの長さを取ると、微小な長方形ができます。この面積がrdrdθになるからです。

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■15876 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 積分です

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□投稿者/ 大学生一般人(4回)-(2006/08/09(Wed) 15:58:17)

わかりました。平木さん、ご丁寧な説明を。サボテンさんもどうもありが
とうございました。助かりました。

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■15915 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 積分です

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□投稿者/ のぶなが。一般人(3回)-(2006/08/10(Thu) 09:26:10)

expって何？