数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 教えて下さい。 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■15831 / inTopicNo.1)

　教えて下さい。

□投稿者/ るな一般人(8回)-(2006/08/08(Tue) 21:41:18)

下の問題で分からないところがあるので、教えて下さい。

cos3α+sin2α+cosα>0を満たすαの範囲を求めよ。
という問題です。

とりあえず全て展開してからcosαでまとめて、cosα=tとおいて求めようとしたら、どうしてもsinαが消えてくれませんでした。
ヒントみたいなものとして載ってた式は、
-2cosα(sinα-1)(2sinα+1)>0
というとても綺麗に整理された式でした。
これを与式に持っていくように計算してみたところ、うまくもって行くことが出来ませんでした。

上手な式変形の仕方を教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■15833 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1497回)-(2006/08/08(Tue) 21:51:31)

>これを与式に持っていくように計算してみたところ、うまくもって行くことが出来ませんでした。
「与式をこれに持っていくように計算してみたところ、うまくもって行くことが出来ませんでした。」ということですか…？
以下、与式をこれに持っていく方法を紹介してみます。

三倍角の公式よりcos3α=4(cosα)^3-3cosα
二倍角の公式よりsin2α=2sinαcosαですから
cos3α+sin2α+cosα
=4(cosα)^3-3cosα+2sinαcosα+cosα
=cosα{4(cosα)^2-3+2sinα+1}
=cosα{4(1-(sinα)^2)+2sinα-2}
=cosα{-4(sinα)^2+2sinα+2}
=-2cosα{2(sinα)^2-sinα-1}
=-2cosα(sinα-1)(2sinα+1)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■15885 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ るな一般人(9回)-(2006/08/09(Wed) 19:51:29)

ありがとうございます。式変形は分かりました。

しかし、どうしてこのような式にするという考えになるのでしょうか？いつも目的地が分かっていないままがむしゃらに走っていくとめちゃくちゃになってしまいます。

あとこの後の最後の仕上げの部分の範囲をどうやって求めるか分かりません。
cosαと-2(sinα-1)と-2(2sinα+1)が０になるときをまず求めようと思ったのですが、回答の考えたとは違いますよね？どう考えているのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■15898 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(571回)-(2006/08/09(Wed) 21:31:47)

2006/08/09(Wed) 21:34:46 編集(投稿者)

■No15885に返信(るなさんの記事)
横から失礼します。

> しかし、どうしてこのような式にするという考えになるのでしょうか？いつも目的地が分かっていないままがむしゃらに走っていくとめちゃくちゃになってしまいます。

方程式・不等式の解法は、まず式を因数分解してみるのが基本だと思います。

> あとこの後の最後の仕上げの部分の範囲をどうやって求めるか分かりません。

-2cosα(sinα-1)(2sinα+1)>0 より、cosα(sinα-1)(2sinα+1)<0 で

常に sinα-1≦0 であることから、cosα(2sinα+1)>0 を解けばよいです。

（ただし、解の範囲からは sinα=1 となるαを除いてください）

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■15901 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ 青海一般人(16回)-(2006/08/09(Wed) 21:44:50)

■No15885に返信(るなさんの記事)
> ありがとうございます。式変形は分かりました。
>
> しかし、どうしてこのような式にするという考えになるのでしょうか？いつも目的地が分かっていないままがむしゃらに走っていくとめちゃくちゃになってしまいます。
>
> あとこの後の最後の仕上げの部分の範囲をどうやって求めるか分かりません。
> cosαと-2(sinα-1)と-2(2sinα+1)が０になるときをまず求めようと思ったのですが、回答の考えたとは違いますよね？どう考えているのでしょうか？

-2cosα(sinα-1)(2sinα+1) > 0

-1 ≦ sinα ≦ 1 なので、-2 ≦ sinα - 1 ≦ 0

sinα - 1 は常に 0 以下なので、-2cosα、2sinα+1のどちらかが、マイナスで、もう片方がプラスなら、全体として 0 以上になります。

-2cosα < 0 の時、0 < α < 90、270 < α < 360
2sinα + 1 > 0 0 < α < 225、315 < α < 360

0 < α < 90、315 < α < 360

-2cosα > 0 の時、90 < α < 270
2sinα + 1 < 0 225 < α < 315

225 < α < 270

なので、
0 < α < 90、225 < α < 270、315 < α < 360
の３区間になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■15903 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1507回)-(2006/08/09(Wed) 21:49:35)

皆さんフォローどうもです　^^

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■15904 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 教えて下さい。

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(572回)-(2006/08/09(Wed) 22:15:27)

225、315 は 210、330 へ訂正を。