 | 使う公式は，
『余弦定理』,『正弦定理』,『sinを用いた面積公式』,『面積と内接円の半径との関係公式』の4つです．その確認よろしくです．
ちなみに△ABCのBC,CA,ABの三辺をa,b,cとすると，
面積公式:S=ab*sin(C)/2 =bc*sin(A)/2 =ca*sin(B)/2 (S:△ABCの面積)
内接円半径の関係公式:S=r*(a+b+c)/2 (r:△ABCの内接円の半径)
が，それぞれ公式です．こちらの理解は参考書などでお願いします．
(1) 3辺の比が与えられて(計算しないといけないが) 『sin(A)を求めよ』と言われたら，
「余弦定理でcos(A)を求めて，sin(A)=√{1-cos^2(A)}に当てはめ」をして一発です．
もちろん，Aは0～180°の角なのでsin(A)>0はいいですよね．
簡単のためBC=a,CA=b,AB=cとおきます．
(b+c):(a+b):(c+a)=5:6:7 のような連比が与えられたら，b+c=5k,a+b=6k,c+a=7kとkを使って置きます．
3式を足すとa+b+c=9k ⇒ a=4k,b=2k,c=3kとなります．
ここで，余弦定理よりcos(A)=(b^2+c^2-a^2)/2bc = -1/4となるので
sin(A)=√{1-cos^2(A)}=(√15)/4．
(2) 外接円の半径は『正弦定理』から，
内接円の半径は『sin(A)を用いた面積公式→面積と内接円の半径の関係公式』から
それぞれ求めます．このあたりは，これ以外にないというくらいの決まりきった流れになりますので，頑張って身に付けてくださいね．
正弦定理:2R=a/sin(A) ⇔ R=8k/√15 =(8k√15) /15
面積公式:S=bc*sin(A)/2 =(3√15)k^2/4
内接円半径の関係公式:S=r(a+b+c)/2 ⇔ r=(k√15)/6
よって，r:R=8/15 :1/6 =16:5．
計算間違ってたらすみません．
|