 | 2006/08/08(Tue) 00:53:09 編集(投稿者)
> 0≦Xk≦ｋ、0≦Yk≦ｋ(ｋ=1〜n)を満たす2n個の整数X1、X2、…Xn、Y1、…Ynに対して、
> (X1/2!)+(X2/3!)+…+(Xn/(n+1)!)=(Y1/2!)+(Y2/3!)+…+(Yn/(n+1)!)
> が成立する時、Xk=Yk(ｋ=1、2、…、n)であることを証明せよ 。
n=1のとき、
X[1]/2!=Y[1]/2! ∴X[1]=Y[1] となり成り立つ。
n=mのとき成り立つと仮定する。n=m+1のとき、
(X[1]/2!)+(X[2]/3!)+…+(X[m+1]/(m+1+1)!)=(Y[1]/2!)+(Y[2]/3!)+…+(Y[m+1]/(m+1+1)!)
(m+2){((m+1)!/2!*X[1]+(m+1)!/3!*X[2]+…+X[m])-((m+1)!/2!*Y[1]+(m+1)!/3!*Y[2]+…+Y[m])}
=Y[m+1]-X[m+1]
両辺m+2の倍数であるから、
Y[m+1]-X[m+1]=0 ∴X[m+1]=Y[m+1]
∴(X[1]/2!)+(X[2]/3!)+…+(X[m]/(m+1)!)=(Y[1]/2!)+(Y[2]/3!)+…+(Y[m]/(m+1)!)
であり、仮定より X[k]=Y[k](ｋ=1、2、…、m+1)が成り立つ。
よって全ての自然数nに対して題意は成り立つ。
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