数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 極値 / Page: 0]

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■15670 / inTopicNo.1)

　極値

□投稿者/ 渉（高３）一般人(1回)-(2006/08/06(Sun) 22:28:53)

問：f(x)=x^4+ax^2+bx+1とおくとき、次の問に答えよ
(1)f´(x)を求めよ
(2)f´´(x)を求めよ
(3)f´(t)=0となるtを求めよ
(4)f´(t)=0であるが、f(t)で極値を持たないtを持つような(a,b)をab平面上に描け

塾の夏期講習の問題です。
微分係数がOだけれど、極値にならないなんてことはありうるんでしょうか？
(４)が分からないので、どなたか教えてください。

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■15671 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極値

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□投稿者/ laki 一般人(47回)-(2006/08/06(Sun) 22:48:41)

■No15670に返信(渉（高３）さんの記事)
> 問：f(x)=x^4+ax^2+bx+1とおくとき、次の問に答えよ
> (1)f´(x)を求めよ
> (2)f´´(x)を求めよ
> (3)f´(t)=0となるtを求めよ
> (4)f´(t)=0であるが、f(t)で極値を持たないtを持つような(a,b)をab平面上に

(3)はf''(t)=0の間違いじゃないですか?
f'(t)=0は
三次方程式の解法を使わないとできないのですが...

僕の勘違いであればごめんなさい

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■15673 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 極値

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□投稿者/ miyup 大御所(540回)-(2006/08/06(Sun) 23:18:44)

■No15670に返信(渉（高３）さんの記事)
> 微分係数がOだけれど、極値にならないなんてことはありうるんでしょうか？

あります。というか、極値である／でないことの見分けがつくようにならないといけません。

簡単に言えば、極値とは、グラフの形では「山」や「谷」のこと（そこのｙの値）です。

微分係数がOの場所は、極値の「候補」でしかありません。実際に極値かどうかはグラフ（増減表）の形で判断します。

例えば、f(x)=x^3 は、f'(x)=3x^2 で、f'(0)=0 ですが、この場所は山でも谷でもないので、極値とはいいません。

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■15674 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 極値

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□投稿者/ 渉（高３）一般人(2回)-(2006/08/06(Sun) 23:24:30)

>(3)はf''(t)=0の間違いじゃないですか?
はい、´を一つ忘れていたようで、申し訳ありません。

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■15679 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 極値

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□投稿者/ laki 一般人(48回)-(2006/08/07(Mon) 00:41:48)

> (4)f´(t)=0であるが、f(t)で極値を持たないtを持つような(a,b)をab平面上に描け

f'(t)=0となるx=tで極値を持たないのは
f'(t)=0となるx=tの前後でf(x)の符号が正から負(極大),または負から正(極小)
となるときです。

つまり、f'(t)=0となるx=tの前後で
f'(x)の符号が変わらなければ、極値をとらないので
y=f'(x)がx=tで重解を持つとき(y=f'(x)がx=tで極値を持つとき)
つまり、f'(t)=0かつf''(t)=0
が求める条件です。
tを消去してa,bの関係が得られます。

(3)のとき、解を持つための条件a≦0を忘れずに。

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■15680 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 極値、訂正

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□投稿者/ laki 一般人(49回)-(2006/08/07(Mon) 00:43:31)

訂正です。

> f'(t)=0となるx=tで極値を持たないのは

↑、f'(t)=0となるx=tで極値を持つのは

> f'(t)=0となるx=tの前後でf(x)の符号が正から負(極大),または負から正(極小)
> となるときです。

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■15685 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 極値、訂正

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1476回)-(2006/08/07(Mon) 01:55:28)

>>lakiさん
削除キーをを覚えておくと、自分の記事の編集・削除ができますよ

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■15686 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 極値、訂正

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□投稿者/ laki 付き人(50回)-(2006/08/07(Mon) 02:10:31)

■No15685に返信(だるまにおんさんの記事)
> >>lakiさん
> 削除キーをを覚えておくと、自分の記事の編集・削除ができますよ

それは気づきませんでした。
ありがとうございます。

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■15720 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 極値

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□投稿者/ 渉（高３）一般人(3回)-(2006/08/07(Mon) 19:31:33)

f´(x)=4x^3+2ax+b=0
f´´(x)=12x^2+2a=0
より、これを連立させて
4t^3-12x^2+2at-2a+b=0となるtが一つ以上存在すればいい…

と言う方針で解いたのですが、4t^3-12x^2+2at-2a+b=0ってa.bが実数ならば絶対に満たす数がありますよね？
これって私の解き方が間違っているのでしょうか？

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■15746 / inTopicNo.10)

　Re[1]: 極値

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□投稿者/ 青海一般人(13回)-(2006/08/07(Mon) 23:32:41)

2006/08/07(Mon) 23:36:00 編集(投稿者)
2006/08/07(Mon) 23:34:50 編集(投稿者)
2006/08/07(Mon) 23:33:24 編集(投稿者)

■No15670に返信(渉（高３）さんの記事)
> 問：f(x)=x^4+ax^2+bx+1とおくとき、次の問に答えよ
> (1)f´(x)を求めよ
> (2)f´´(x)を求めよ
> (3)f´´(t)=0となるtを求めよ
> (4)f´(t)=0であるが、f(t)で極値を持たないtを持つような(a,b)をab平面上に描け
>
> 塾の夏期講習の問題です。
> 微分係数がOだけれど、極値にならないなんてことはありうるんでしょうか？
> (４)が分からないので、どなたか教えてください。
>

f'(t)が二重解のときの a, b の関係を求めると出来ますよ。
図も載せましたので参考にしてください。

f'(t)が二重解のとき、t は、f''(t) = 0 の解になるので、

$2$f''(t) = 12t^2 + 2a = 0$

の解は、-a = a' とすると、

$2$t = \pm \sqrt{\frac{a'}{6}}$

それぞれを f'(t)に代入して、整頓すると、

$2$b = \pm \frac{4}{3} \sqrt{\frac{a'^3}{6}}$

(a' ＞ 0)
となります。a = 0 の時f'(t)は三重解になります。

図は、（ちょっと見にくいかも知れませんが、、）

青：f(x)
赤：f'(x)
緑：f''(x)

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■15793 / inTopicNo.11)

　Re[2]: 極値

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□投稿者/ 崇一般人(2回)-(2006/08/08(Tue) 13:43:44)

解答としては、グラフの左上を除くパターンの時が題意を満たすんですよね？
(a,b)は範囲ではなくて、曲線として表示されると言うことでしょうか？

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■15822 / inTopicNo.12)

　Re[3]: 極値

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□投稿者/ 青海一般人(14回)-(2006/08/08(Tue) 20:08:40)

■No15793に返信(崇さんの記事)
> 解答としては、グラフの左上を除くパターンの時が題意を満たすんですよね？
> (a,b)は範囲ではなくて、曲線として表示されると言うことでしょうか？

そうなると思います。

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