数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 二次曲線・微分 / Page: 0]

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■15630 / inTopicNo.1)

　二次曲線・微分

□投稿者/ satsuma 一般人(13回)-(2006/08/06(Sun) 00:46:33)

2006/08/06(Sun) 00:49:49 編集(投稿者)

問題を解いていて分からないところがありましたので質問させてください。

t<3,t≠1であるtに対応して、x^2/(3-t) + y^2/(1-t) = 1 によってあらわされるxy平面上の曲線 $2$\displaystyle C_t$ を考える。a≠0,b≠0として平面上の定点Ａ(a,b)をとる。
(1) $2$\displaystyle C_t$ が点Ａを通るようなtは2つあることを証明せよ。
(2)上の二つのtを $2$t_1,t_2$ とするとき、曲線 $2$\displaystyle C_t_1$ , $2$\displaystyle C_t_2$ のうち一つは楕円でもう一つは双曲線であることを証明せよ。
(3)(2)の曲線 $2$\displaystyle C_t_1$ , $2$\displaystyle C_t_2$ の点Ａにおける2つの接線は直行することを証明せよ。

という問題で、(1)から躓いております。(a,b)を代入してtの二次関数にして、
t<3,t≠1で異なる二つの実数解を持つことを示せばよいような気がするのですが、
どうも上手くできそうにありません。

どなたよろしくお願い致します。

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■15635 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 二次曲線・微分

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□投稿者/ はまだ大御所(436回)-(2006/08/06(Sun) 01:44:34)

■No15630に返信(satsumaさんの記事)
a^2/(3-t) + b^2/(1-t) = 1
(3-t)(1-t)≠0なので,(3-t)(1-t)をかけて整理すると
t^2+(a^2+b^2-3)t+(3-a^2-3b^2)＝0
左辺をf(t)とおく
f(3)＝2a^2＞0
f(1)＝-2b^2＜0
f(-(a^2+b^2))＝3a^2+b^2+3＞0
∴f(t)=0はf(t)が2次式であることから-(a^2+b^2)～1　と　1～3に解を1つずつ持つことがいえます。
これで（1）と（2）は解決できます。

点Aでの接線の傾きは-(a/b)((1-t)/(3-t))
ｔ＝t1,t2における傾きの積が-1であることを示せばよい

f(t)＝(t-t1)(t-t2)であることに注意すれば
傾きの積＝(a/b)^2*{(1-t1)(1-t2)}/{(3-t1)(3-t2)}
＝(a/b)^2*f(1)/f(3)＝(a/b)^2*(-2b^2)/(2a^2)＝-1

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■15676 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 二次曲線・微分

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□投稿者/ satsuma 一般人(14回)-(2006/08/06(Sun) 23:42:08)

教えていただきましてどうもありがとうございます。。

(1)でf(t)に1と3と-(a^2+b^2)を入れていますが、これはどうしてこの値を入れたのでしょうか。
1や3は範囲が問題文につけられているのでなんとなく分かるような気がするのですが、
実際、とりあえず1と3を入れてみたら出来た。ということなのでしょうか。
また-(a^2+b^2)はどうしてこの値が選ばれたのでしょうか。
1未満でf(t)=0が成り立つ場合があるとすると、tに1未満の値をいれてf(t)>0となるものを見つければよいわけですが、
tが正だと範囲が狭く見つけにくそうなので、tが負の値に注目して、
その代表として適当に、-(a^2+b^2)を入れてみたら上手くいった。ということなのでしょうか。
教えてください。よろしくお願い致します。

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■15678 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 二次曲線・微分

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□投稿者/ はまだ大御所(437回)-(2006/08/07(Mon) 00:11:49)

■No15676に返信(satsumaさんの記事)
問(2)があるので、解が1未満と1～3の間にあることを示したい。
→f(3)＞0、ｆ(1)＜0、f(1より小さい数)＞0を示したい。
という流れです。

「1より小さい数として何を選ぶか？」について
f(－∞)でもよかったのですが、極限の表記が面倒であったことと、質問者に分かりにくいかもしれないと思ったので別の数を探しました。
次に、f(-10)のように数字を考えましたが、a,bの値によってはダメなので諦めました。
そこで、解の公式で小さい方の解から
2ｘ＝-(a^2+b^2-3)-√((a^2+b^2-3)^2-4(3-a^2-3b^2))
＜-(a^2+b^2)-√((a^2+b^2-3)^2)＜-2(a^2+b^2)
なので
f(-(a^2+b^2))を選びました。

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■15681 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 二次曲線・微分

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□投稿者/ satsuma 一般人(15回)-(2006/08/07(Mon) 01:03:52)

どうも有難うございました。
-(a^2+b^2)はそういう意味からだったのですね。
聞いてみて良かったと思いました。
本当にどうもありがとうございました。

解決済み!

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