 | いわゆる関数方程式の問題ですが，この問題の積分区間はt:0→π と定数区間です．
このときの解き方は『積分で表された定数を文字で置く』です．これしかないっす．
∫[t:0→π] f(t)cos(x-t) dt =∫[t:0→π] f(t)cos(t)*cos(x) dt + ∫[t:0→π] f(t)sin(t)*sin(x) dt
と加法定理によって，分解できます．ここで，sin(x),cos(x)はこの積分とは関係ない関数(dtがあるから，tで積分している!!)なので，積分の外に出せ
=cos(x)*∫[t:0→π] f(t)cos(t) dt + sin(x)*∫[t:0→π] f(t)sin(t) dt
となります．ここで，∫[t:0→π] f(t)cos(t) dt，∫[t:0→π] f(t)sin(t) dt は，tで積分した後，定数t=π,0を代入するので定数になります．
これが，『積分で表された定数』です．
よって，c=∫[t:0→π] f(t)cos(t) dt，s=∫[t:0→π] f(t)sin(t) dt …①とでもおきましょう．
(c=(1/π)*∫[t:0→π] f(t)cos(t) dt，s=(1/π)*∫[t:0→π] f(t)sin(t) dt でもよいかと思います．)
この後は，以下の手順をたどって解きます．
『①で置いた文字を使ってf(x)を書き直す』
f(x)=(1+s/π)*sin(x) +(c/π)*cos(x)…②
『②と置きなおしたf(x)を再び①に代入する』
s=∫[t:0→π] (1+s/π)*sin^2(t) +c/π*sin(t)cos(t) dt
c=∫[t:0→π] (1+s/π)*sin(t)cos(t)+c/π*cos^2(t) dt
で，これを頑張って計算すると
s=(π+s)/2 ⇔ s=π
c=c/2 ⇔ c=0
となり，②よりf(x)=sin(x) と求まります．
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