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■15579 / inTopicNo.1) 　お願いします。
  ▼■
□投稿者/ 偏差値５０ 一般人(6回)-(2006/08/05(Sat) 09:25:02)
    (1)正の実数p,qに対して、
    　　∫[0→1]x^p(1-x)^q dx<1/(q+1)
    　を示せ。
    (2)第n項a[n]が次式で与えられるとき、無限級数の和Σ[n=1→∞]a[n]
    　を求めよ。
    　ただし、sは１より大きい実数とする。

    　　a[n]=1/n^(s+1)∫[0→ｎ]x^s(1-x/n)^n dx

    (1)からわかりません。できればわかりやすくお願いします。
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■15580 / inTopicNo.2) 　Re[1]: お願いします。
□投稿者/ X 大御所(472回)-(2006/08/05(Sat) 09:59:52)
    2006/08/05(Sat) 10:01:41 編集(投稿者)

    (1)
    I=∫[0→1](x^p)(1-x)^q dx
    について、1-x=tと置くとdx=-dtでx:0→1にt:1→0が対応し
    I=-∫[1→0]{(1-t)^p}(t^q )dt
    =∫[0→1](x^q)(1-x)^p dx
    ∴∫[0→1](x^p)(1-x)^q dx<1/(q+1)
    ⇔∫[0→1](x^q)(1-x)^p dx<1/(q+1) (A)
    よって(A)を証明するためまず
    0<x<1において
    (x^q)(1-x)^p<x^q (A)'
    であることを証明しましょう。(A)'が証明できれば両辺の定積分を考えることで(A)は証明できます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■15581 / inTopicNo.3) 　Re[1]: お願いします。
□投稿者/ X 大御所(473回)-(2006/08/05(Sat) 10:22:52)
    (2)
    (1)の結果を使います。

    まずa[n]の右辺の定積分でx/n=tと置くと
    a[n]=(1/n^s)∫[0→1](nt)^s(1-t)^n dt
    =∫[0→1](t^s)(1-t)^n dt
    =∫[0→1](x^s)(1-x)^n dx
    ∴
    ∑[k=1～n]a[k]=∑[k=1～n]∫[0→1](x^s)(1-x)^k dx
    =∫[0→1]∑[k=1～n]{(x^s)(1-x)^k} dx
    =∫[0→1]{x^(s-1)}(1-x){1-(1-x)^n} dx
    =∫[0→1]{x^(s-1)}(1-x)dx-∫[0→1]{x^(s-1)}(1-x)^(n+1) dx
    =1/s-1/(s+1)-∫[0→1]{x^(s-1)}(1-x)^(n+1) dx (A)
    ここで(1)の結果より
    ∫[0→1]{x^(s-1)}(1-x)^(n+1) dx<1/(n+1) (B)
    又0<x<1において
    0<{x^(s-1)}(1-x)^(n+1)
    ∴0<∫[0→1]{x^(s-1)}(1-x)^(n+1) dx (C)
    (B)(C)より
    0<∫[0→1]{x^(s-1)}(1-x)^(n+1) dx<1/(n+1) (D)
    (A)(D)を用いてはさみうちの原理を使うことを考えましょう。

    こちらの計算では
    Σ[n=1→∞]a[n]=1/s-1/(s+1)
    となりました。
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■15586 / inTopicNo.4) 　Re[2]: お願いします。
□投稿者/ 偏差値５０ 一般人(8回)-(2006/08/05(Sat) 11:49:47)
    Xさんありがとうございました。解決しました。
解決済み!
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