 | 2006/08/04(Fri) 22:24:58 編集(投稿者)
OHとABの交点をC，AからOBに下ろした垂線の足をP，BからOAに下ろした垂線の足をQとする。
↑OA・↑OB=|↑OA|・|↑OB|・cos(∠AOB)=12cos(∠AOB)=4
∴cos(∠AOB)=1/3
よって、OP=OAcos(∠AOB)=4/3，OQ=OBcos(∠AOB)=1
∴OQ：AQ=1：3，OP：BP=4：5
ここで、チェバの定理より(OQ/AQ)(AC/BC)(BP/OP)=1 ∴AC：BC=16：5
また、メネラウスの定理より(OQ/QA)(AB/BC)(CH/HO)=1 ∴CH：HO=20：21
以上より、↑OH=(21/41)↑OC=(21/41){(5/21)↑a+(16/21)↑b}=(5/41)↑a+(16/41)↑b
♪別解♪
〜∴OQ：AQ=1：3，OP：BP=4：5迄上記と同じ。
A，H，Pは一直線上にあるから↑OHはtを用いて以下のようにおけて、変形していくと…
↑OH=(1-t)↑OA+t↑OP
=5(1-t)・{(1/5)↑OA}+(4t/9)・{(9/4)↑OP}
=5(1-t)↑OQ+(4t/9)↑OB
ここで、B，H，Qは一直線上にあるから5(1-t)+(4t/9)=1 ∴t=36/41
したがって、↑OH=(1-t)↑OA+(4t/9)↑OB=(5/41)↑a+(16/41)↑b
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