数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[9]: 三角関数 / Page: 0]

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■15343 / inTopicNo.1)

　三角関数

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□投稿者/ 悠里一般人(1回)-(2006/07/30(Sun) 16:33:52)

関数　y=cos^2θ-2sinθcosθ+3sin^2θ (0≦θ≦２分のπ）
の最大値、最小値とそのときのθの値を求めよ。

という問題が考えても解けずに困っています。
どなたかとき方を詳しく教えて下さい。お願いします。

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■15344 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1455回)-(2006/07/30(Sun) 16:53:42)

y=cos^2θ-2sinθcosθ+3sin^2θ
=cos^2θ+3(1-cos^2θ)-2sinθcosθ
=-(2cos^2θ-1)-2sinθcosθ+2
=-cos2θ-sin2θ+2　(倍角の公式：2cos^2θ-1=cos2θ，2sinθcosθ=sin2θ)
=-(sin2θ+cos2θ)+2
=-(√2){sin(2θ+π/4)}+2　(三角関数の合成)
=-(√2)sinα+2　(α=2θ+π/4とおいた。ただし0≦θ≦π/2よりπ/4≦α≦5π/4)
よってα=π/2すなわちθ=π/8のとき最小値2-√2，α=5π/4すなわちθ=π/2のとき最大値3

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■15345 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 三角関数

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□投稿者/ Ｎ付き人(72回)-(2006/07/30(Sun) 16:55:34)

y=cos^2θ-2sinθcosθ+3sin^2θで、2sinθcosθ＝sin2θ、cos^2θ+sin^2θ＝１、-2sin^2θ+1＝cos2θを使ってから、関数の合成を行えば、どうでしょうか？

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■15346 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 三角関数

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□投稿者/ Ｎ付き人(73回)-(2006/07/30(Sun) 16:57:36)

あ、だるまにおんさん、すいません。
かぶりました。
…それに詳しく説明して頂いてるので、私の書き込みよりだるまにおんさんのを参考にしてください。

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■15348 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 三角関数

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□投稿者/ 悠里一般人(2回)-(2006/07/30(Sun) 17:05:49)

> =-(√2)sinα+2　(α=2θ+π/4とおいた。ただし0≦θ≦π/2よりπ/4≦α≦5π/4)
π/4≦α≦5π/4 これはどこからでてくるんですか？本当にすみません、教えていただけませんでしょうか。

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■15350 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 三角関数

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1457回)-(2006/07/30(Sun) 17:13:28)

0≦θ≦π/2
⇒0≦2θ≦π
⇒π/4≦2θ+π/4≦5π/4
⇒π/4≦α≦5π/4

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■15352 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 三角関数

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□投稿者/ 悠里一般人(3回)-(2006/07/30(Sun) 17:37:37)

2006/07/30(Sun) 17:52:30 編集(投稿者)

なるほど。細かい事まで親切につきあっていただいてありがとうございました。
おかげで理解できました。
だるまにおんさん本当にありがとうございました。

Nさんもありがとうございます。

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■15353 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 三角関数

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1458回)-(2006/07/30(Sun) 17:39:53)

こらこら…付き人さんではなくて、Ｎさんですぞ　^^;

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■15354 / inTopicNo.9)

　Re[6]: 三角関数

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□投稿者/ 悠里一般人(4回)-(2006/07/30(Sun) 17:55:11)

すみません；
だるまにおんさん指摘していただいてありがとうございます。

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■15355 / inTopicNo.10)

　Re[7]: 三角関数

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□投稿者/ 悠里一般人(5回)-(2006/07/30(Sun) 19:10:23)

2006/07/30(Sun) 19:13:26 編集(投稿者)

すみません、
>α=π/2すなわちθ=π/8のとき最小値2-√2，α=5π/4すなわちθ=π/2のとき最大値3
この最小値、最大値の時のαの値はどこからきているんですか？とゆうよりどうしてα=π/2とかになるんですか？
最初私は0≦θ≦π/2の範囲の場所を勘違いしてて勝手に納得してたんですけど、さっきもう一度何も見ずに解いてたら訳がわからなくなってしまって；
何度もしつこくて本当に申し訳ないんですが教えていただけませんか。

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■15356 / inTopicNo.11)

　Re[8]: 三角関数

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□投稿者/ Ｎ付き人(74回)-(2006/07/30(Sun) 19:34:31)

2006/07/30(Sun) 19:52:41 編集(投稿者)
2006/07/30(Sun) 19:45:06 編集(投稿者)

それではちょっと私が。
だるまにおんさんが、-(√2)sinα+2と出してくれましたよね？
これはsinなので、概念で「sinｘの値は０≦ｘ＜２πでは、-1～１までしかとらない」ので、それを使います。ただし問題ではπ/4≦α≦5π/4の範囲なので、sinαは－１/√２～１までしかとりません。故に
最小値はαがπ/2の時に２－√２です。
最大値はαが5π/4の時に３です。
何故ならsinの前にマイナスが付いてるので、sinαがα＝π/2で１になる時に-sinαは－１になり、
sinαがα＝5π/4で－１/√２になる時に-sinαは１/√２になりますので。
するとα＝2θ+π/4とあり、あとはここからθも出ると思います。

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■15358 / inTopicNo.12)

　Re[9]: 三角関数

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□投稿者/ 悠里一般人(6回)-(2006/07/30(Sun) 20:03:52)

2006/07/30(Sun) 20:06:52 編集(投稿者)

なるほど。
Ｎさんの丁寧な説明で理解することが出来ました。
時間をさいて教えてくださりありがとうございました。

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