数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 数学的帰納法 / Page: 0]

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■15332 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法

□投稿者/ satsuma 一般人(11回)-(2006/07/29(Sat) 23:29:50)

h>0として、不等式
$2$(1+h)^n$ ≧ $2$1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^2$
をすべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ
という問題なのですが、自分としては二項定理をつかって出せるので
そうしたいのは山々なのですが、いかんせん問題文に数学的帰納法と指定されているので、
どうやればよいのか分かりません。どなたがご教授お願い致します。

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■15333 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1454回)-(2006/07/30(Sun) 00:01:19)

n=1のときは当然のごとくなりたちます。そこでn=kのとき成り立つとして、n=k+1のとき...

$2$(1+h)^{k+1}$

$2$=(1+h)^{k}(1+h)$

$2$\geq\left\{1+kh+\frac{k(k-1)}{2}h^{2}\right\}(1+h)$

$2$=1+kh+\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}h^{2}+h+kh^{2}+\frac{k(k-1)}{2}h^{3}$

$2$\displaystyle \geq 1+kh+\frac{k(k-1)}{2}h^{2}+h+kh^{2}$

$2$=1+(kh+h)+\left\{\frac{k(k-1)}{2}h^{2}+kh^{2}\right\}$

$2$=1+(k+1)h+\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}h^{2}$

となり、n=k+1のときも成り立った。
よって数学的帰納法より全ての自然数nについて問題となった不等式が成り立つ。

…で、どうでしょうか。何の工夫もしていませんが...

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■15339 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ satsuma 一般人(12回)-(2006/07/30(Sun) 11:23:54)

不等式だから、小さいほうは切り落とせばよかったんですね。。
$2$\frac{k(k-1)}{2}h^{3}$ をつけたままで考えていました。
どうも有難うございました。

解決済み!

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