 | (i) a_(n+1)=2a_n +n-1 ←nの部分にn-1を代入した式を(ii)とおく
(ii) a_n =2a_(n-1)+n-2
(i)-(ii)をすることによりnを消去します。
a_(n+1)-a_n=2{a_n-a_(n-1)}+1
a_n-a_(n-1)=b_nとおいてb_nの一般項を求める。(a_1=1,a_2=2からb_1=3)
b_(n+1)=2b_n+1
b_(n+1)+1=2(b_n+1)
{b_n+1}は初項4,公比Ⅱの等比数列であることがわかるから
b_n+1=2^(n+1)
b_n=2^(n+1)-1
a_n-a_(n-1)=2^(n+1)-1
a_n=a_1+Σ(n-1,k=1)(2^(n+1)-1)
a_n=2^n-n
a_1=1でn=1のときa_n=2^1-1=1で初項を満たす。
よってa_n= 2^n-n
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