数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 高次関数 / Page: 0]

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■15208 / inTopicNo.1)

　高次関数

□投稿者/ ゆう一般人(14回)-(2006/07/26(Wed) 18:04:51)

収束半径を求めよ

$2$x+$ $2$\frac{x^3}{3}$ $2$+$ $2$\frac{x^5}{5}$ $2$+...+$ $2$\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

第n次関数を求めよ

$2$\sin ^2x$

が分かりません。

分かる方、お願いします。

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■15212 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 高次関数

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□投稿者/ miyup 大御所(488回)-(2006/07/26(Wed) 18:20:16)

■No15208に返信(ゆうさんの記事)
> 第n次関数を求めよ
>
> $2$\sin ^2x$

$2$y=\sin ^2x$ について

$2$y^{(1)}=2\sin x\cos x=\sin 2x$ からはじめて $2$y^{(6)}$ までいけば法則が見えます。成り立つかどうかは数学的帰納法で。

$2$k=1,2,3,\cdots$ のとき

$2$n=2k-1$ では、 $2$y^{(n)}=(-1)^{k-1}\cdot 2^{2(k-1)}\sin 2x$

$2$n=2k$ では、 $2$y^{(n)}=(-1)^{k-1}\cdot 2^{2k-1}\cos 2x$

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■15215 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 高次関数

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□投稿者/ ゆう一般人(15回)-(2006/07/26(Wed) 20:22:23)

2006/07/26(Wed) 20:24:42 編集(投稿者)
2006/07/26(Wed) 20:23:30 編集(投稿者)

すいません；

$2$y^{(6)}$ までたどりつけません；

もうすこし細かく説明していただいてもよろしいでしょうか(>_<)

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■15217 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 高次関数

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□投稿者/ miyup 大御所(489回)-(2006/07/26(Wed) 20:42:41)

■No15215に返信(ゆうさんの記事)
> 2006/07/26(Wed) 20:24:42 編集(投稿者)
> 2006/07/26(Wed) 20:23:30 編集(投稿者)
>
> すいません；
>
> $2$y^{(6)}$ までたどりつけません；
>
> もうすこし細かく説明していただいてもよろしいでしょうか(>_<)

$2$y^{(1)}=\sin 2x$
$2$y^{(2)}=2\cos 2x$
$2$y^{(3)}=-2^2\sin 2x$
$2$y^{(4)}=-2^3\cos 2x$
$2$y^{(5)}=2^4\sin 2x$
$2$y^{(6)}=2^5\cos 2x$ になります。奇数偶数に分けて

$2$y^{(1)}=\sin 2x=2^0\sin 2x$
$2$y^{(3)}=-2^2\sin 2x$
$2$y^{(5)}=2^4\sin 2x$
…
$2$y^{(2k-1)}=(-1)^{k-1}2^{2(k-1)}\sin 2x$

$2$y^{(2)}=2\cos 2x=2^1\cos 2x$
$2$y^{(4)}=-2^3\cos 2x$
$2$y^{(6)}=2^5\cos 2x$
…
$2$y^{(2k)}=(-1)^{k-1}2^{2k-1}\cos 2x$

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■15221 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 高次関数

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□投稿者/ ゆう一般人(16回)-(2006/07/26(Wed) 21:20:38)

ほんとに何度もごめんなさい；

すごく丁寧でここまでの流れは理解できたのですが、

どうすれば答えの $2$2^{n-1}\sin [2x+$ $2$\frac{(n-1)\pi }{2}$ $2$]$ になるのかが分からないんです。

よければそこまでの流れも説明お願いします；

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■15222 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 高次関数

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□投稿者/ 通りすがり一般人(2回)-(2006/07/26(Wed) 21:50:04)

$2$\cos (x)=\sin (x+\frac{\pi}{2})$
$2$-\sin (x)=-\cos (x+\frac{\pi}{2})=\sin (x+2\frac{\pi}{2})$
$2$-\cos (x)=-\sin (x+\frac{\pi}{2})=\cos (x+2\frac{\pi}{2})=\sin (x+3\frac{\pi}{2})$
$2$\sin (x)=-\cos (x+\frac{\pi}{2})=-\sin (x+2\frac{\pi}{2})=\cos (x+3\frac{\pi}{2})=\sin (x+4\frac{\pi}{2})$

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■15224 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 高次関数

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□投稿者/ 通りすがり一般人(3回)-(2006/07/26(Wed) 21:56:32)

■No15208に返信(ゆうさんの記事)
> 収束半径を求めよ
>
> $2$x\ +\ \frac{x^3}{3}\ +\ \frac{x^5}{5}\ +\ \cdots\ +\ \frac{\ x^{2n+1}\ }{2n\,+\,1}$
>
だとただの多項式なので、収束半径は $2$\infty$ 。

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■15225 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 高次関数

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□投稿者/ ゆう一般人(17回)-(2006/07/26(Wed) 22:21:04)

2006/07/26(Wed) 22:26:26 編集(投稿者)

■No15224に返信(通りすがりさんの記事)
> ■No15208に返信(ゆうさんの記事)
>>収束半径を求めよ
>>
>> $2$x\ +\ \frac{x^3}{3}\ +\ \frac{x^5}{5}\ +\ \cdots\ +\ \frac{\ x^{2n+1}\ }{2n\,+\,1}$
>>
> だとただの多項式なので、収束半径は $2$\infty$ 。

すいません。

問題の最後に＋・・・がぬけていました。

ちなみに答えは１になるはずです；

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■15227 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 高次関数

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□投稿者/ miyup 大御所(493回)-(2006/07/26(Wed) 22:51:35)

2006/07/26(Wed) 22:52:52 編集(投稿者)

■No15222に返信(通りすがりさんの記事)

なるほど、１つにまとめるんですね。順に sin, cos, -sin, -cos で繰り返しを表現する時は、「合成」のイメージでやると楽にまとめられます。

「合成」… a sinθ+b cosθ=r sin(θ+α)　r=√(a^2+b^2)、αは cosα=a/r, sinα=b/r

sin = 1 sin +0 cos　　このとき r=1、α=0 =0π/2
cos = 0 sin +1 cos　　このとき r=1、α=π/2 =1π/2
-sin = -1 sin +0 cos　　このとき r=1、α=π =2π/2
-cos = 0 sin -1 cos　　このとき r=1、α=3π/2 =3π/2　→　(n-1)π/2 となる。

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■15228 / inTopicNo.10)

　Re[3]: 高次関数

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□投稿者/ 通りすがり一般人(4回)-(2006/07/26(Wed) 22:52:21)