数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 対数 / Page: 0]

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■14915 / inTopicNo.1)

　対数

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□投稿者/ ごんた一般人(1回)-(2006/07/20(Thu) 23:49:10)

実数x,yがx≧y≧1を満たすとき,次の不等式が成り立つことを示してください。　　(x＋y－1)log[2](x＋y)≧(x－1)log[2](x)＋(y－1)log[2](y)＋y 　　　　　大至急お願いします。

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■14917 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 対数

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1422回)-(2006/07/21(Fri) 00:04:48)

(x+y-1)log[2](x+y)
＝(x-1)log[2](x+y)+ylog[2](x+y)
≧(x-1)log[2]x+ylog[2](2y)
＝(x-1)log[2]x+ylog[2]y+y
≧(x-1)log[2]x+(y-1)log[2]y+y

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■14918 / inTopicNo.3)

　対数

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□投稿者/ ごんた一般人(2回)-(2006/07/21(Fri) 00:08:16)

すみませんが対数がとても苦手なのでもう少し詳しくお願いします

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■14920 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 対数

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1423回)-(2006/07/21(Fri) 00:11:00)

どの辺がご不明ですか？

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■14923 / inTopicNo.5)

　対数

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□投稿者/ ごんた一般人(4回)-(2006/07/21(Fri) 00:27:04)

２行目から３行目への変形がもうだめです。

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■14924 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 対数

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1425回)-(2006/07/21(Fri) 00:31:49)

2006/07/21(Fri) 00:36:00 編集(投稿者)

そうですか、2行目から3行目への変形は対数が問題ではありません

今、x≧y≧1でしたからx+y≧xとなりますからlog[2](x+y)≧log[2]x
∴(x-1)log[2](x+y)≧(x-1)log[2]x・・・(甲)

また、x≧yよりx+y≧y+y＝2yが成り立つのでlog[2](x+y)≧log[2](2y)
∴ylog[2](x+y)≧ylog[2](2y)・・・(乙)

(甲)の不等式と(乙)の不等式を辺辺足し合わせると

(x-1)log[2](x+y)+ylog[2](x+y)
≧(x-1)log[2]x+ylog[2](2y)

が得られます。

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■14930 / inTopicNo.7)

　対数

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□投稿者/ わん一般人(11回)-(2006/07/21(Fri) 00:46:55)

ありがとうございます。では3行目から4,5行目へはどうしているんですか？　　　あと、(x+y-1)log[2](x+y)は(x-1)log[2](x+y)+ylog[2](x+y)とできるのですか？　

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■14931 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 対数

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1426回)-(2006/07/21(Fri) 00:51:05)

＞あと、(x+y-1)log[2](x+y)は(x-1)log[2](x+y)+ylog[2](x+y)とできるのですか？

できます。超基本的な式変形です。
a=log[2](x+y)とおいて考えて見ましょう。
(x+y-1)log[2](x+y)
=(x+y-1)a
={(x-1)+y}a
=(x-1)a+ya
=(x-1)log[2](x+y)+ylog[2](x+y)

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■14934 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 対数

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1427回)-(2006/07/21(Fri) 00:57:36)

3行目～4行目
対数の公式log(AB)=logA＋logBより
log[2](2y)=log[2]2＋log[2]y=log[2]y＋1　(log[2]2=1はご存知ですよね？)
なので
(x-1)log[2]x＋ylog[2](2y)
=(x-1)log[2]x＋y(log[2]y＋1)
=(x-1)log[2]x＋ylog[2]y＋y

4行目～5行目
y≧1よりlog[2]y≧0ですから
ylog[2]y≧(y-1)log[2]y
が成り立ちます。この不等式の両辺に(x-1)log[2]x，yを加えると
(x-1)log[2]x＋ylog[2]y＋y≧(x-1)log[2]x＋(y-1)log[2]y＋y
となります。

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■14938 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 対数

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□投稿者/ ごんた一般人(5回)-(2006/07/21(Fri) 01:11:27)

最後の(x-1)log[2]x+ylog[2]y+yは(x+y-1)log[2](x+y)と同じですか？

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■14939 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 対数

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1429回)-(2006/07/21(Fri) 01:12:24)

2006/07/21(Fri) 01:13:17 編集(投稿者)

x，yの値によって同じになる時もあれば違う時もあります。

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