数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 導関数 / Page: 0]

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■14710 / inTopicNo.1)

　導関数

□投稿者/ Help 一般人(23回)-(2006/07/16(Sun) 02:25:28)

$2$x^2+y^2=5$ を、 $2$y$ を $2$x$ の関数と考え、導関数 $2$dy/dx$ を求めよ。

という問題なのですが、「 $2$y$ を $2$x$ の関数と考え」と言われても、いつも導関数を求めるときも $2$y$ を $2$x$ の関数と考えていると思うのですが。

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■14711 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 導関数

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(420回)-(2006/07/16(Sun) 05:19:30)

■No14710に返信(Helpさんの記事)
> $2$x^2+y^2=5$ を、 $2$y$ を $2$x$ の関数と考え、導関数 $2$dy/dx$ を求めよ。
>
> という問題なのですが、「 $2$y$ を $2$x$ の関数と考え」と言われても、いつも導関数を求めるときも $2$y$ を $2$x$ の関数と考えていると思うのですが。
$2$x$ を $2$y$ の関数とするときもあります。
$2$x$ を $2$y$ で微分するときもありますので、その考え方は誤りです。
$2$\frac{dy}{dx}=2x+2y*y'=0$
$2$y'=-\frac{x}{y}$
必ずしも $2$y'$ は変数 $2$x$ のみで表さなくて良い。

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■14732 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 導関数

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□投稿者/ Help 一般人(24回)-(2006/07/16(Sun) 20:05:13)

(1)この場合は、 $2$y$ は $2$x$ の関数だから $2$y$ も変数扱いですよね。
(2) $2$y$ を $2$x$ の関数と考えるときは、xが独立変数、yが従属変数と考えていいでしょうか？
(3)dy/dxは「ディーワイディーエックス」と読むのですか？

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■14737 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 導関数

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□投稿者/ miyup 大御所(437回)-(2006/07/16(Sun) 23:28:08)

■No14732に返信(Helpさんの記事)
> (1)この場合は、 $2$y$ は $2$x$ の関数だから $2$y$ も変数扱いですよね。
> (2) $2$y$ を $2$x$ の関数と考えるときは、xが独立変数、yが従属変数と考えていいでしょうか？
> (3)dy/dxは「ディーワイディーエックス」と読むのですか？
>

すべて「はい」ですね。

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■14739 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 導関数

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□投稿者/ nanasi 一般人(1回)-(2006/07/17(Mon) 03:59:15)

■No14732に返信(Helpさんの記事)
> (3)dy/dxは「ディーワイディーエックス」と読むのですか？
>
「記号は読むものではない」「読んではいけない」が正解です。敢えて読むとしたら「関数yのxによる微分」とでも訳すのがいいでしょうね。

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■14744 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 導関数

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□投稿者/ name 一般人(29回)-(2006/07/17(Mon) 15:15:35)

「でぃーわいおーばーでぃーえっくす」と
読むこともありますよ。

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■14746 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 導関数

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(427回)-(2006/07/17(Mon) 16:24:30)

■No14739に返信(nanasiさんの記事)
> ■No14732に返信(Helpさんの記事)
>>(3)dy/dxは「ディーワイディーエックス」と読むのですか？
>>
> 「記号は読むものではない」「読んではいけない」が正解です。敢えて読むとしたら「関数yのxによる微分」とでも訳すのがいいでしょうね。
同感です。これは確かライプニッツの表記であると本で読みましたが、
本当にこれは彼の慧眼と言えるでしょうね。

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■14760 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 導関数

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□投稿者/ Help 一般人(25回)-(2006/07/17(Mon) 20:49:48)

学校の先生は「ディーワイディーエックス」といっているような気がするのですが、先生が間違っているのでしょうか？

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■14762 / inTopicNo.9)

　Re[6]: 導関数

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□投稿者/ miyup 大御所(438回)-(2006/07/17(Mon) 21:43:04)

■No14760に返信(Helpさんの記事)
> 学校の先生は「ディーワイディーエックス」といっているような気がするのですが、先生が間違っているのでしょうか？

間違っていません。

「記号は読むものではない」「読んではいけない」というのは、理想としてはわかりますが、現実には発音しなければ逆に誤解を招きます。

全ての人に通用する「読み」を定義しさえすれば、問題は起こらないと思います。
数学記号にそれ以上のもの（思想的なもの）を望むのであれば、その時には記述に頼ればいいのです。

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■14767 / inTopicNo.10)

　Re[7]: 導関数

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□投稿者/ Help 一般人(27回)-(2006/07/17(Mon) 23:29:19)

2006/07/17(Mon) 23:31:50 編集(投稿者)
2006/07/17(Mon) 23:31:43 編集(投稿者)

発音する場合は、「ディーエックス分のディーワイ」ではなくて、「ディーワイディーエックス」のように分子→分母の順でいいでしょうか？

　それと、問題に戻りますが、yをxの変数と考えということですが、dy/dxを求めるときは、平木慎一郎さんが解答してくれたように、
$2$\frac{dy}{dx}=2x+2y*y'=0$
としていいのでしょうか？dy/dxは、yの式をxについて微分するものだと思うのですが、ここでいうyの式がどれになるのでしょうか？いつもなら、問題がy=の形で与えられているのでよく分かりません。お願いします。

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■14771 / inTopicNo.11)

　Re[8]: 導関数

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□投稿者/ nanasi 一般人(2回)-(2006/07/18(Tue) 00:37:36)

> 発音する場合は、「ディーエックス分のディーワイ」ではなくて、「ディーワイディーエックス」のように分子→分母の順でいいでしょうか？

通じれば何でもいいというのはmiyupさんもおっしゃっていることです。「記号は読むものではない、読んではいけない」というのは、記号そのものに（漢字がそうであるようには）普遍的な意味や普遍的な読みが存在するものではないということで、理想とかそういう問題ではなくまったく論理に属する話です。どうしても軽く流してしまいがちですが、文脈に即して翻訳する（訓読みする）ことをせずに、記号そのものを読もうとすることが既に誤った論理への橋が架かってしまっていることを示すもので、できれば見逃さないようにしたほうがいいと思います。

分数ではないということを言いたいために便宜的に『「ディーエックス分のディーワイ」ではな』いと宣言することは便利なので、大抵どこの学校でも口酸っぱく言うだろうと思いますが、「ディーエックス分のディーワイ」と読んでも別に問題があるわけではありません。現にがいこくでは分数の読み方と同じに読むというのをnameさんが14744で仰っています。

本題ですが、両辺をxで微分した2x+2y*(dy/dx)=0をdy/dx=の形に解いたものが答えです。x^2+y^2=5という関係が間接的にyとxの関数関係を決めているのだということで、y=f(x)の形のいくつかの式に分解されるのだと理解されますが、F(x)=x^2+{f(x)}^2 という関数とそれに等しいG(x)=5という関数をそれぞれ微分して、「同じものを微分したらやっぱり同じものがでてくる」というのを考えているのだと思うと多少わかりやすいのではないでしょうか。F(x)には合成関数の微分法を使うことになりますから、ちゃんと復習しておいてくださいね。

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■14775 / inTopicNo.12)

　Re[9]: 導関数

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□投稿者/ Help 一般人(30回)-(2006/07/18(Tue) 01:53:59)

　わかりました。あとひとつお聞きしたいのですが、
$2$\frac{dy}{dx}$ というのは、その後ろに来る式にかかっているわけですね？ $2$\frac{dy}{dx}$ とそのあとの式の間に×や・のような記号を入れてはいけないですよね？

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■14781 / inTopicNo.13)

　Re[10]: 導関数

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(430回)-(2006/07/18(Tue) 04:01:13)

■No14775に返信(Helpさんの記事)
> 　わかりました。あとひとつお聞きしたいのですが、
> $2$\frac{dy}{dx}$ というのは、その後ろに来る式にかかっているわけですね？ $2$\frac{dy}{dx}$ とそのあとの式の間に×や・のような記号を入れてはいけないですよね？
簡単に言うとこういうことです。
$2$x^2+y^2=5$
$2$\frac{d}{dx}x^2+\frac{d}{dx}y^2=\frac{d}{dx}5$
$2$2x+\frac{d}{dy}y^2\frac{dy}{dx}=0$
$2$2x+2y*y'=0$
$2$y'=-\frac{y}{x}$

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■14786 / inTopicNo.14)

　Re[10]: 導関数

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□投稿者/ nanasi 一般人(3回)-(2006/07/18(Tue) 11:33:19)

■No14775に返信(Helpさんの記事)
> $2$\frac{dy}{dx}$ というのは、その後ろに来る式にかかっているわけですね？
「かかっている」というのが掛け算するという意味なのであれば、そうですと答えるところなのですが
> $2$\frac{dy}{dx}$ とそのあとの式の間に×や・のような記号を入れてはいけないですよね？
と続くことからすると、きっと別な意味ですよね。もしも、

$2$\frac{d}{dx}f(x)$

のように、 $2$\frac{d}{dx}$ がf(x)に（写像として、あるいは作用素として）掛かっているというようなものと同じ意味で「かかっている」と仰っているのであれば、それは違います。 $2$\frac{dy}{dx}$ はもうそれだけで一つの関数です。 $2$\frac{d}{dx}$ のような、ある意味不完全なものではありません。

もちろん、「×や・のような記号」はただの記号でしかないので、場合によっては表記を判りやすくするために

$2$\frac{d}{dx}\times f(x)$

のように書くことはあります（f(x) の部分がもうちょっとややこしい形の式だったりするときのことです）。こうかいたからといって×という記号は掛け算をするという意味にはなりません。高校までの数学なら、×という記号を数や文字の掛け算専用記号としてつかうという極めて強い制限を暗黙のうちに課してあるはずなので、テストでこのような表記をすればバツをもらうかもしれませんが。

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■14805 / inTopicNo.15)

　Re[11]: 導関数

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□投稿者/ Help 一般人(32回)-(2006/07/18(Tue) 16:57:17)

申し訳ありません。 $2$\frac{dy}{dx}$ ではなく $2$\frac{d}{dx}$ でした。
掛け算の記号として、×や・がありますが、この二つに違いはあるのでしょうか？

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■14827 / inTopicNo.16)

　Re[12]: 導関数

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□投稿者/ nanasi 一般人(4回)-(2006/07/19(Wed) 01:28:52)

■No14805に返信(Helpさんの記事)
> 掛け算の記号として、×や・がありますが、この二つに違いはあるのでしょうか？
おそらくは無いと思います。思いますが、無いと言い切ることもできません。真実はその文脈の中にしか無いからです。

これもやはり繰り返しになりますが、記号×や・自体に意味があるのではありませんから、この質問はナンセンスなのです。同じ意味を表すこともありますし、ベクトルの外積と内積のように別種の掛け算を表すこともあります。重要なのはその記号を「あなた自身がどのような意味で用いて」いるのかを誰にでもわかるように明らかにしているのかということと、それを読んだり聞いたりしている人が「あなたが意図している意味を了解している」のかどうかということです。立場を変えれば、あなたはその記号を使っている文脈では「ここでのこの記号はどういう意味なのだろう」と毎回読み取ろうとしなければいけないということですね。もちろん、使っている人はその記号の意味をその記号が出てくるまでの文脈のどこかで表明しているはずです。

記号は（日常的な文章を使うと修飾関係が曖昧になったりするのを避けて）論理を明確にするための便法でしかなく、場合場合によって便利なものを選び、充てています。つまり、数学の記号というのは「便宜的に～と表記する」というようなことの繰り返しです。便利な記号は、長く残り、広く知られて、よく使われます。たとえば、ライプニッツによる $2$d/dx$ という微分記号も様々な場面で形式的に分数扱いすることが正当化されるという便利さがあるわけです（ $2$\dot{f}(x),\ \ddot{y}$ のように関数の上にドットを並べることで微分を表すニュートンの表記もありますし、こちらもライプニッツのものより表記がしやすいという利便性からよく使われるものですが）。

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■14828 / inTopicNo.17)

　Re[13]: 導関数

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□投稿者/ Help 一般人(35回)-(2006/07/19(Wed) 01:42:48)

わかりました。記号は、その時々で意味が違うわけですね。

どうもありがとうございました！

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