数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 三角形の相似 / Page: 0]

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■14696 / inTopicNo.1)

　三角形の相似

□投稿者/ キンダーハイム5514 一般人(1回)-(2006/07/15(Sat) 19:29:57)

複素数平面上に、3点A(α),B(β),C(γ)を頂点とする正三角形ABCがある。
頂点の取り方は反時計回りとしてw={-1+(√3)i}/2とするとき、
等式α+wβ+(w^2)γ=0が成り立つことを示せ。

問題集でP(1),Q(w),R(w^2)と勝手に説明されています。
なぜなんでしょうか？
ここも理解できていません。ここも教えてください。
全体の解き方も詳細におねがいします！

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■14763 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ soredeha 一般人(27回)-(2006/07/17(Mon) 22:28:09)

w={-1+(√3)i}/2 　より
2ω＝-1＋i√3
(2ω＋1)^2＝-3
ω^2＋ω＋1＝0
α+wβ+(w^2)γ＝α＋wβ＋(-ω - 1)γ
　　　　　　　＝(α - γ)＋ω(β - γ)
ω＝1(cos120°＋isin120°)
△ABC は反時計回りに正三角形だから
ω(β - γ)＝-(α - γ)

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■14834 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ キンダーハイム5514 一般人(3回)-(2006/07/19(Wed) 12:46:24)

ありがとうございました！

　α+wβ+(w^2)γ＝α＋wβ＋(-ω - 1)γ
　　　　　　　＝(α - γ)＋ω(β - γ)
　ω＝1(cos120°＋isin120°)

ここの計算で
ω＝1(cos120°＋isin120°)
と答えが出るのがよく分かりません。
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

それと

　問題集でP(1),Q(w),R(w^2)と勝手に説明されています。
　なぜなんでしょうか？

ここもまだ分かりません。
どうしてP,Q,Rを定めることができるのでしょうか？
これは勝手に仮定した数字なんでしょうか？

あと

　△ABC は反時計回りに正三角形だから
　ω(β - γ)＝-(α - γ)

反時計回りに正三角形と書いて
ω(β - γ)＝-(α - γ)と書くことで
どうして等式α+wβ+(w^2)γ=0が成り立つことを示せているのでしょうか？

おしえてください！
おねがいします！

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■14866 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ soredeha 一般人(28回)-(2006/07/20(Thu) 00:36:15)

α+wβ+(w^2)γ＝α＋wβ＋(-ω - 1)γ
　　　　　　　＝(α - γ)＋ω(β - γ)　　-----------------(1)
w={-1+(√3)i}/2
　＝2{cos120°＋isin120°}/2
　＝cos120°＋isin120°
w^2＝(cos120°＋isin120°)(cos120°＋isin120°)
　＝cos240°＋isin240°
よって、三角形PQRは、正三角形であり
正三角形ABC ∽ 三角形PQR
相似の公式より
(β - γ)/(α - γ)＝(w - w^2)/(1 - w^2)＝w/(1＋w)＝w/(-w^2)
(β - γ)/(α - γ)＝-1/w
w(β - γ)＝-(α - γ)
(1) に代入すると
α+wβ+(w^2)γ＝(α - γ)-(α - γ)＝0

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■14888 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ キンダーハイム5514 一般人(8回)-(2006/07/20(Thu) 16:24:37)

ありがとうございました！

ちょっとまだ疑問あるんですけど

　w^2＝(cos120°＋isin120°)(cos120°＋isin120°)
　＝cos240°＋isin240°　　

これは(cos120°＋isin120°)(cos120°＋isin120°)という式は
cosどうしをisinどうしを足すだけでいいんでしょうか？
かけて展開していかないでいいのでしょうか？
角度の二乗をどうすればいいのか、よく分かりません。（しかもカッコ内に二つも角度がある＾＾；）

それとまだ疑問に残っているのは

　問題集でP(1),Q(w),R(w^2)と勝手に説明されています。
　なぜなんでしょうか？

ここがまだ謎です。
どうしてP,Q,Rを定めることができるのでしょうか？
これは勝手に仮定した数字なんでしょうか？
これはソレデハさんの解き方と違うのでしょうか？
ソレデハさんの説き方ではP,Q,Rに数字を設定していませんよね。
設定した場合は適当に数字を決めていいのか、どうやって数字を決めるのか
やっぱりよくわかりません・・！

おねがいします！

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■14962 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ soredeha 一般人(30回)-(2006/07/21(Fri) 13:59:36)

>これは(cos120°＋isin120°)(cos120°＋isin120°)という式は
cosどうしをisinどうしを足すだけでいいんでしょうか？

公式：(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)　　より

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■15144 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ キンダーハイム5514 一般人(11回)-(2006/07/25(Tue) 10:15:30)

ありがとうございました！

最後の疑問で最初からの疑問でもあるんですが

　問題集でP(1),Q(w),R(w^2)と勝手に説明されています。
　なぜなんでしょうか？

ここがいまだよくわかりません
どうしてP,Q,Rを定めることができるのでしょうか？
これは勝手に仮定した数字なんでしょうか？

ここを教えてほしいです。
どうして勝手に定めることができるのでしょうか？

おねがいします！

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■15160 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ soredeha 一般人(34回)-(2006/07/25(Tue) 19:49:24)

△ABCは、正三角形であり
P(1),Q(w),R(w^2)　ととれば、△PQRも正三角形になり
△ABCと△PQRは相似になります。

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■15232 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ キンダーハイム5514 一般人(12回)-(2006/07/27(Thu) 09:21:17)

ありがとうございました！

P(1),Q(w),R(w^2)　ととれるのは
等式α+wβ+(w^2)γ=0が関係しているんでしょうか？
PをA,QをB,RをC、と見立ててやっているんでしょうか？
この等式ありきで証明し始めているということですか？
もし、結果である答えが違ったら、成り立たないと説明できるから。
んー、つまり、この等式を利用して、適当にP,Q,Rという文字に
A,B,Cの座標を当てはめている、ってことでしょうか？
P,Q,Rでなくても、W,X,Oでもよくて
あとは等式に当てはめて
A+wB+w^(2)C=0
から
W+wX+w^(2)O=0
として
それぞれの係数をW,X,Oの座標と考えている、ってことでしょうか？

なんか分かりづらくてすみません。
教えてください
おねがいします。

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■15237 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ せら。一般人(2回)-(2006/07/27(Thu) 11:30:01)

>　問題集でP(1),Q(w),R(w^2)と勝手に説明されています。
>　なぜなんでしょうか？
ここだけ切り出されても、問題集の説明がどういう流れで説明しているのかというのがよくわからないので説明しようがないです（苦笑）
ひとまず、P(1),Q(w),R(w^2)と設定すれば△ＰＱＲは点がわかりやすい正三角形です。任意の正三角形について証明しなければいけないのだけれど、いきなり任意の正三角形を設定してやるのは難しいから、一つわかりやすい正三角形で試してみる、という感じなのではないか、と思いますが…（この意味では、soredehaさんの方針と同じですね）

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■15329 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 三角形の相似

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□投稿者/ soredeha 一般人(37回)-(2006/07/29(Sat) 20:48:17)

>P(1),Q(w),R(w^2)　ととれるのは
等式α+wβ+(w^2)γ=0が関係しているんでしょうか？

多分、関係ないでしょう。

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■15330 / inTopicNo.12)

　Re[9]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ 通りすがり一般人(8回)-(2006/07/29(Sat) 22:10:03)

> P(1),Q(w),R(w^2)　ととれるのは
「取れる・取れない」を云々するタチのものではない。思考を整理するために、1, w, w^2 という点に P, Q, R という名前をつけただけ。

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■15433 / inTopicNo.13)

　Re[10]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ キンダーハイム5514 一般人(21回)-(2006/08/02(Wed) 06:29:30)

ありがとうございました。

教科書の解答の流れを書きますと
（分からないところは[]でくくっています）

w={-1+(√3)i}/2=cos120°+isin120°であるから
[P(1),Q(w),R(w^(2))とすると]
△PQRは正三角形になる。よって、△ABC∽△PQR
から
[(γ-α)/(β-α)=(w^(2)-1)/(w-1)=w+1]
ゆえにγ-α=(w+1)(β-α)から
αw-(1+w)β+γ=0
両辺にw^(2) (≠0)をかけると
αw^(3)-(w^(2)+w^(3))β+γw^(2)=0
[w^3=1であり、またw^(2)+w+1=0]から
w^(2)+w^(3)=-w
したがって
α+wβ+(w^2)γ=0

前から言っているように
[P(1),Q(w),R(w^(2))とすると]
が、よく分かりません。解答を全文写したので（理解できていないところが悲しいですが）、なにか分かることがあれば、教えてもらいたいです。

[(γ-α)/(β-α)=(w^(2)-1)/(w-1)=w+1]
ここの式もよく分かりません。
どうして(γ-α)/(β-α)を(w^(2)-1)/(w-1)にできるんでしょうか？
その後のw+１は分かりました。

[w^3=1であり、またw^(2)+w+1=0]
これもよく分かりません。
w^3はおそらく、cos360°+isin360°=1からきていると思っているんですが
w^(2)+w+1=0、こっちの式がどこからきているのか分かりません。
ここも教えてほしいです。

おねがいします！

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■15435 / inTopicNo.14)

　Re[1]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ サボテン一般人(5回)-(2006/08/02(Wed) 10:02:54)

wは120度の回転を表します。
すると、α,βw,γw^2は正三角形の頂点を表し、
α+βw+γw^2は正三角形の頂点のベクトル和です。
図形の性質から、正三角形の場合頂点のベクトル和は重心ベクトルの3倍に
等しくなります。今の場合重心がおそらく原点にあるので、
α+βw+γw^2=0
です。

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■15495 / inTopicNo.15)

　Re[2]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ キンダーハイム5514 一般人(23回)-(2006/08/03(Thu) 18:50:31)

ありがとうございました！
うーん、ちょっと難しくてよく分からなかったです、すみません。
３つの質問をもう一度載せさせてもらっていいでしょうか？
やっぱり、いまいち理解できないんですよね。むう、理解したい気持ちはあるのに。
おねがいします。

教科書の解答の流れを書きますと
（分からないところは[]でくくっています）

w={-1+(√3)i}/2=cos120°+isin120°であるから
[P(1),Q(w),R(w^(2))とすると]
△PQRは正三角形になる。よって、△ABC∽△PQR
から
[(γ-α)/(β-α)=(w^(2)-1)/(w-1)=w+1]
ゆえにγ-α=(w+1)(β-α)から
αw-(1+w)β+γ=0
両辺にw^(2) (≠0)をかけると
αw^(3)-(w^(2)+w^(3))β+γw^(2)=0
[w^3=1であり、またw^(2)+w+1=0]から
w^(2)+w^(3)=-w
したがって
α+wβ+(w^2)γ=0

前から言っているように
[P(1),Q(w),R(w^(2))とすると]
が、よく分かりません。解答を全文写したので（理解できていないところが悲しいですが）、なにか分かることがあれば、教えてもらいたいです。

[(γ-α)/(β-α)=(w^(2)-1)/(w-1)=w+1]
ここの式もよく分かりません。
どうして(γ-α)/(β-α)を(w^(2)-1)/(w-1)にできるんでしょうか？
その後のw+１は分かりました。

[w^3=1であり、またw^(2)+w+1=0]
これもよく分かりません。
w^3はおそらく、cos360°+isin360°=1からきていると思っているんですが
w^(2)+w+1=0、こっちの式がどこからきているのか分かりません。
ここも教えてほしいです。

おねがいします！

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■15498 / inTopicNo.16)

　Re[3]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ soredeha 一般人(38回)-(2006/08/03(Thu) 19:49:17)

2006/08/03(Thu) 20:09:54 編集(投稿者)
2006/08/03(Thu) 20:02:51 編集(投稿者)
2006/08/03(Thu) 19:53:02 編集(投稿者)

＞[P(1),Q(w),R(w^(2))とすると]
1,w,w^2 は1の立方根であり、[P(1),Q(w),R(w^(2))とすると]複素数平面上で正三角形の頂点になる。(1の立方根の基本事項)
すると　△ABC と△PQRはともに正三角形になって、相似になるから。

＞[(γ-α)/(β-α)=(w^(2)-1)/(w-1)]
三角形の相似条件、ほぼ公式

＞[w^3=1であり、またw^(2)+w+1=0]
これは、1の虚数立方根ω＝(1/2)(-1±√3i)の性質であり、ほぼ公式です。

基本事項、公式等を再確認してください。

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■15645 / inTopicNo.17)

　Re[1]: 三角形の相似

▲▼■

□投稿者/ キンダーハイム5514 一般人(31回)-(2006/08/06(Sun) 10:31:56)

ありがとうございました！

解決済み!

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