 | ax+by=c … (1)
dx+ey=f … (2)
(2)×a-(1)×d から (ae-bd)y=af-cd
(1)×e-(2)×b から (ae-bd)x=ce-bf
ae-bd≠0 の時、両辺を ae-bd で割って
x=(ce-bf)/(ae-bd), y=(af-cd)/(ae-bd)
これは(1)(2)を満たすので一組の解を持つ。
ae-bd=0 の時、両式が成り立つためには
af-cd=0 かつ ce-bf=0 でなければならない。
ae=bd≠0 の場合は
(2)×(a/d) から
(a/d)dx+(a/d)ey=(a/d)f
(a/d)d=a, (a/d)e=(b/e)e=b, (a/d)f=(b/e)f=bf/e=ce/e=c
となり(1)と(2)が同値かつa≠0, b≠0となるので、無数の解を持つ。
ae=bd=0 の場合は、
a=b=d=e=0 なら af-cd=0, ce-bf=0 は両方とも成り立つが、
c≠0 または f≠0 の時解を持たない。
従って a=b=d=e=0 の場合は c=f=0 でなければならない。
c=f=0の場合、af-cd=0 と bf=ce=0 は両方とも成り立つ。
a=b=d=0, e≠0 なら ce-bf=0 から c=0 なので (1)は恒等式、
(2)はyの一次方程式となり、xは無数の解、yは一つの解を持つ。
a=b=e=0, d≠0 なら af-cd=0 から c=0 なので (1)は恒等式、
(2)はxの一次方程式となり、xは一つの解、yは無数の解を持つ。
a=b=0, d≠0, e≠0 なら af-cd=0 から c=0 なので(1)は恒等式となり、
(2)により無数の解を持つ。
a=d=e=0, b≠0 なら ce-bf=0 から f=0 なので (2)は恒等式、
(1)はyの一次方程式となり、xは無数の解、yは一つの解を持つ。
a=d=0, b≠0, e≠0 なら ce-bf=0 から(1)(2)は同値となり、
xは無数の解、yは一つの解を持つ。
b=d=e=0, a≠0 なら af-cd=0 から f=0 なので (2)は恒等式、
(1)はxの一次方程式となり、xは一つの解、yは無数の解を持つ。
b=e=0, a≠0, d≠0 なら af-cd=0 から(1)(2)は同値となり、
xは一つの解、yは無数の解を持つ。
d=e=0, a≠0, b≠0 なら ce-bf=0 から f=0 なので(2)は恒等式となり、
(1)により無数の解を持つ。
以上により、解を持つ条件は
ae≠bd または c=f=0 または
(af=cd かつ bf=ce かつ (a≠0 または b≠0 または d≠0 または e≠0))
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