 | 与式を
a^3/(a-b)(a-c)+b^3/(b-c)(b-a)+c^3/(c-a)(c-b)
のタイプミスと見て解きます。
(与式)=-a^3/(a-b)(c-a)-b^3/(b-c)(a-b)-c^3/(c-a)(b-c)
（分母をa-b,b-c,c-aとサイクリックな文字配置になるように変形）
={-(b-c)a^3-(c-a)b^3-(a-b)c^3}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
（(a-b)(b-c)(c-a)で通分した）
={-(b-c)a^3+(b^3-c^3)a-cb^3+bc^3}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
（分子をaについて整理した）
={-(b-c)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a-bc(b^2-c^2)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
={-(b-c)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a-bc(b-c)(b+c)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
（aの係数を因数分解）
=(b-c){-a^3+(b^2+bc+c^2)a-bc(b+c)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
（b-cをくくりだす）
=(b-c){(a-c)b^2+(ca-c^2)b-a^3+ac^2}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
(分子の{}内をbについて再整理(aより次数が低いので))
=(b-c){(a-c)b^2+(a-c)cb-a(a^2-c^2)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
=(b-c){(a-c)b^2+(a-c)cb-a(a-c)(a+c)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
=(b-c)(a-c){b^2+cb-a(a+c)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
（a-cをくくりだす）
=(b-c)(a-c)(b+a+c)(b-a)/{(a-b)(b-c)(c-a)}
（分子の{}内をたすきがけ）
=(b-c)(c-a)(a+b+c)(a-b)/{(a-b)(b-c)(c-a)}
（約分できるように分子の()内を整理）
=a+b+c
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