 | ■No14532に返信(kaiさんの記事)
> 問 ｍを自然数とする。ｘに関する２次方程式x^＋ｍx＋７＝０について
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> (1) この２次方程式が相異なる実数解をもつとき、ｍのとり得る値の範囲 を求めよ。
判別式D=m^2-28>0⇔m<-2√7,m>2√7⇔m≧6
> (2) この２次方程式の解がすべて有理数となるｍの値の範囲を求めよ。
有理数の解をq/pと表す(ただし、p,qは互いに素な整数でp≠0)
代入して、両辺にp^2を掛けると
q^2+mpq+7p^2=0,これをqについて解くと
q={-mp±lpl√(m^2-28)}/2
qは整数であるので√..が整数である必要がある。
√(m^2-28)=N(Nは自然数)とおくと、m^2-28=N^2⇔(m+N)(m-N)=28
m≧6を考慮して、m+N=7,14,28,それぞれに対しm-N=4,2,1
それぞれ連立方程式を解いて条件を満たすのはm=8のときのみ
与式に代入するとx=-1,-7を得るので題意を満たす。
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