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■14472 / inTopicNo.1)

　教えて下さい

□投稿者/ ももいろ一般人(3回)-(2006/07/09(Sun) 18:04:51)

またまたすみません！！

lim[n→∞]a[n]=α　ならば　

lim[n→∞](a[1]+2a[2]+3a[3]+…+na[n])/(1+2+3+…+n)=α　を示せ

という問題なのですが、いまいちよく解りませんし、解答の仕方も分かりません。
どなたか、宜しくお願い致します。

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■14483 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 教えて下さい

▲▼■

□投稿者/ r@PCLabo 一般人(8回)-(2006/07/09(Sun) 20:02:01)
http://blog.livedoor.jp/r_risd/

数列の極限の定義から、ε-δ論法でなんとかなると思います。

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■14490 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 教えて下さい

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(413回)-(2006/07/09(Sun) 21:38:49)

2006/07/10(Mon) 23:29:04 編集(投稿者)
2006/07/09(Sun) 22:35:55 編集(投稿者)

■No14472に返信(ももいろさんの記事)
> またまたすみません！！
>
> lim[n→∞]a[n]=α　ならば　
>
> lim[n→∞](a[1]+2a[2]+3a[3]+…+na[n])/(1+2+3+…+n)=α　を示せ

とりあえずこのあたりから

$2$\|\frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{1+2+\cdots+n}-\alpha\|=\|\frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n-\alpha(1+2+\cdots+n)}{1+2+\cdots+n}\|$

　 $2$=\|\frac{(a_1-\alpha)+2(a_2-\alpha)+\cdots+n(a_n-\alpha)}{\frac{n(n+1)}{2}}\|$

　 $2$=\frac{2}{n(n+1)}\|(a_1-\alpha)+2(a_2-\alpha)+\cdots+n(a_n-\alpha)\|$

　 $2$<\frac{2}{n(n+1)}\|n(a_1-\alpha)+n(a_2-\alpha)+\cdots+n(a_n-\alpha)\|$

　 $2$=\frac{2}{n+1}\|(a_1-\alpha)+(a_2-\alpha)+\cdots+(a_n-\alpha)\|$

　 $2$\leq\frac{2}{n+1} $ |a_1-\alpha|+|a_2-\alpha|+\cdots+|a_n-\alpha| $$

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