 | > 連立するとｙ（ｐｙ-2ｐ+1）＝0となるのですが
> ｐｙ-2ｐ+1<0のときと＝0のときは何が違うのですか
意味がよくわかりません。
y=0, y=(2p-1)/p が解であるところまではいいですね？
これと、y=px^2 より、y=0 の時 x=0となり、(x,y)=(0,0) は交点であることがわかります。
そして、 y=(2p-1)/p の時 x=±√(2p-1)/p ...となりそうですが、2p-1 が負なら
このような x はありません。2p-1 が正なら、このような x は２つあります。
2p-1=0 ならこのような x が１つだけあります。そして、2p-1=0 の時、√(2p-1)/p=0 ですから、この時の交点は (x,y)=(0,0)と一致します。
ですので、2p-1=0 の時は、ある意味4重に交わっています。
問題は、交点が１つの場合を求めますから、py-2p+1=0 から求まる交点が (0,0) のみであるか、または、解がない、場合の p の条件を求めることになります。
> ｘ＝sint、ｙ＝costとしたときとｘ＝cost、ｙ＝sintのときで答えが違うのは
> なぜですか？
計算間違いをしたからでしょう。
x=sin(u), y=cos(u) とすれば、仮定より 0≦u≦π/2 なので、
u=π/2-t とおけば、やはり0≦u≦π/2で、x=cos(t), y=sin(t) となっています。
だから、例えば、x=cos(t), y=sin(t) で解いて t=t0 で最大、t=t1 で最小となったとすれば、
x=sin(u), y=cos(u) で解いたら u=π/2-t0 で最大、u=π/2-t1 で最小となっているはずです。
ちなみに、x=sin(u),y=cos(u) とした場合は、角度uを y軸を起点として時計回りにとっていることになります。
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