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■14384 / inTopicNo.1)

　お願いします

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□投稿者/ わん一般人(3回)-(2006/07/06(Thu) 21:30:03)

Oを原点とし、放物線C:y^2=1/√3x上に2点PとQを∠POQ=90°となるようにとる。直角三角形OPQの面積のとり得る範囲を求めてください。まじめにお願いします。

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■14390 / inTopicNo.2)

　Re[1]: お願いします

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□投稿者/ miyup 大御所(394回)-(2006/07/06(Thu) 22:49:53)

■No14384に返信(わんさんの記事)
> Oを原点とし、放物線C:y^2=1/√3x上に2点PとQを∠POQ=90°となるようにとる。直角三角形OPQの面積のとり得る範囲を求めてください。

放物線上に点Ｐを、 $2$P(\sqrt{3}b^2,b),\;b>0$ ととる。

直線OP: $2$y=\frac{1}{\sqrt{3}b}x$ より、これと垂直な直線OQ（点Ｑは放物線上）は $2$y=-\sqrt{3}bx$ で、放物線と直線OQとの交点Ｑは、 $2$Q(\frac{1}{3\sqrt{3}b^2},-\frac{1}{3b})$

よって、△ＯＰＱの面積Ｓは、 $2$S=\frac{1}{2}\|\sqrt{3}b^2\cdot (-\frac{1}{3b})-\frac{1}{3\sqrt{3}b^2}\cdot b\|=\frac{1}{2}$\frac{b}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{3}b}$$

ここで、相加・相乗平均の関係より、 $2$S=\frac{1}{2}$\frac{b}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{3}b}$\geq\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{\frac{b}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{3\sqrt{3}b}}=\frac{1}{3}$

　等号成立は、 $2$\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3\sqrt{3}b}$ すなわち $2$b=\frac{1}{\sqrt{3}}$ のときである。

以上より、 $2$S\geq\frac{1}{3}$

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■14394 / inTopicNo.3)

　Re[2]: お願いします

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□投稿者/ わん一般人(4回)-(2006/07/06(Thu) 23:22:17)

この関数は普通の式とx,yが逆になってますがPを（√３ｂ＾２、ｂ）とおいてもかまわないですか？あと面積の部分のだしかたがわかりません。

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■14398 / inTopicNo.4)

　Re[3]: お願いします

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□投稿者/ miyup 大御所(399回)-(2006/07/06(Thu) 23:53:16)

■No14394に返信(わんさんの記事)
> この関数は普通の式とx,yが逆になってますがPを（√３ｂ＾２、ｂ）とおいてもかまわないですか？

だいじょうぶです。

>あと面積の部分のだしかたがわかりません。

△ＯＡＢの面積公式　　 $2$O(0,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ のとき

$2$S=\frac{1}{2}\|x_1y_2-x_2y_1\|$

これは使えるので覚えましょう！

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■14400 / inTopicNo.5)

　Re[4]: お願いします

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□投稿者/ わん一般人(5回)-(2006/07/07(Fri) 00:29:54)

すみませんが交点Qの出し方がわかりません。

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■14401 / inTopicNo.6)

　Re[5]: お願いします

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(407回)-(2006/07/07(Fri) 03:54:28)

■No14400に返信(わんさんの記事)
> すみませんが交点Qの出し方がわかりません。
$2$y=-\sqrt{3}bx$ を二乗して等式を導くと
$2$3b^2x^2=\frac{1}{\sqrt{3}}x$
$2$x(3b^2x-\frac{1}{\sqrt{3}})$
$2$x=0,\frac{1}{3\sqrt{3}b^2}$

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