数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[9]: 極値 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■14328 / inTopicNo.1)

　極値

▼■

□投稿者/ りり一般人(21回)-(2006/07/04(Tue) 19:25:01)

f(x,y)=x^3+y^3+x^2+2xy+y^2の極値を求めろっていう問題なんですけど、極値をとる点が求まらず、x^2=y^2になってしまい、うまくできなかったので、教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14329 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極値

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(378回)-(2006/07/04(Tue) 21:44:23)

2006/07/04(Tue) 23:47:47 編集(投稿者)

■No14328に返信(りりさんの記事)
> f(x,y)=x^3+y^3+x^2+2xy+y^2の極値を求めろっていう問題なんですけど、極値をとる点が求まらず、x^2=y^2になってしまい、うまくできなかったので、教えてください。

$2$x^2=y^2$ より $2$y=\pm x$ として、 $2$f_x=3x^2+2x+2y=0$ に代入すれば、 $2$(x,y)=(0,0),(-\frac{4}{3},-\frac{4}{3})$ を得る。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14332 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極値

▲▼■

□投稿者/ りり一般人(22回)-(2006/07/05(Wed) 00:18:38)

極小値は０（x,y)＝(0,0)のとき。
極大値は64/27（ｘ、ｙ）＝（－4/3、-4/3）のとき。
であってますか？？？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14335 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極値

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(380回)-(2006/07/05(Wed) 08:52:16)

■No14332に返信(りりさんの記事)
> 極小値は０（x,y)＝(0,0)のとき。
> 極大値は64/27（ｘ、ｙ）＝（－4/3、-4/3）のとき。

極大はよさそうですが、極小は微妙です。鞍点になってないかどうかチェックしました？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14337 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 極値

▲▼■

□投稿者/ りり一般人(23回)-(2006/07/05(Wed) 10:59:15)

鞍点とはなんですか？？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14339 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 極値

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(382回)-(2006/07/05(Wed) 11:38:15)

■No14337に返信(りりさんの記事)
> 鞍点とはなんですか？？
>

１変数の関数でも、 $2$f'(x)=0$ だけど極値にならないときがありますね。

２変数の関数でも、極値の候補にはなるが実際は極値でない点があります。

一般に $2$z=f(x,y)$ のグラフは３次元空間における曲面を表しますが、極値は山頂、谷底の形をしています。鞍点とは、ある方向から見ると山頂なのに、別の方向から見ると谷底になっている点です。ちょうど馬の鞍の形に似ているので鞍点といいます。ここは極値ではありません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14346 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 極値

▲▼■

□投稿者/ りり一般人(24回)-(2006/07/05(Wed) 21:01:40)

では、極小のとき、成り立つのか確かめる解答を教えてください！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14350 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 極値

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(383回)-(2006/07/05(Wed) 21:27:57)

■No14346に返信(りりさんの記事)
> では、極小のとき、成り立つのか確かめる解答を教えてください！！

極大も含めて極値かどうかの判定は

$2$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$ のとき $2$D=\{f_{xy}(a,b)\}^2-f_{xx}(a,b)\cdot f_{yy}(a,b)$ とおくと

　 $2$D<0,f_{xx}(a,b)<0$ ならば $2$f(x,y)$ は $2$(a,b)$ で極大

　 $2$D<0,f_{xx}(a,b)>0$ ならば $2$f(x,y)$ は $2$(a,b)$ で極小

　 $2$D>0$ ならば $2$f(x,y)$ は $2$(a,b)$ で極値をとらない

　 $2$D=0$ のときは判定不能

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14351 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 極値

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(384回)-(2006/07/05(Wed) 21:48:03)

2006/07/06(Thu) 00:07:16 編集(投稿者)
2006/07/06(Thu) 00:05:28 編集(投稿者)

$2$(x,y)=(-\frac{4}{3},-\frac{4}{3})$ のときは $2$D<0,f_{xx}<0$ より、極大となる。

$2$(x,y)=(0,0)$ のときは $2$D=0$ より、判定不能。

　 $2$f(0,0)=0$ であるが、 $2$x\ne 0$ のとき $2$f(x,-x)=0$ で、極小とはならない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14357 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 極値

▲▼■

□投稿者/ りり一般人(25回)-(2006/07/06(Thu) 00:59:34)

わかりました～～
とっても丁寧に解説していただきありがとうございました！！
ちなみにマクローリンについての質問もしているので、そちらの方も宜しくお願いします。
n=2は2回微分可能ということで、マクローリン展開のｎが２ということです！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター